Wartość bezwzględna i jej własności

1.Wartość bezwzględna liczby $a$

Wartość bezwzględna liczby $a$, czyli $|a|$, to jej odległość od zera na osi liczbowej. Dlatego zawsze jest nieujemna: $|a|\ge 0$.

2.Definicja przedziałowa $|a|$

Dla liczby rzeczywistej $a$ zachodzi: $|a|=a$, gdy $a\ge 0$, oraz $|a|=-a$, gdy $a<0$. Ta definicja pozwala rozwiązywać równania i nierówności z modułem.

3.Interpretacja geometryczna

Wyrażenie $|x-a|$ oznacza odległość liczby $x$ od liczby $a$ na osi liczbowej. Dzięki temu równania i nierówności z modułem można interpretować jako warunki na odległość.

4.Nieujemność modułu

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi $|a|\ge 0$. Wartość bezwzględna nie może być ujemna, więc równanie typu $|x|=-3$ nie ma rozwiązań.

5.Kiedy $|a|=0$

Wartość bezwzględna liczby jest równa zeru tylko wtedy, gdy sama liczba jest równa zeru: $|a|=0 \iff a=0$.

6.Symetria modułu

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi $|-a|=|a|$. Liczby przeciwne mają tę samą odległość od zera.

7.Iloczyn pod modułem

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ zachodzi $|ab|=|a|\cdot|b|$. Moduł iloczynu jest iloczynem modułów.

8.Iloraz pod modułem

Jeśli $b\ne 0$, to $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$. Moduł ilorazu jest ilorazem modułów, o ile mianownik nie jest zerem.

9.Kwadrat modułu

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi $|a|^2=a^2$. Po podniesieniu do kwadratu znika różnica między $a$ i $-a$.

10.Pierwiastek z kwadratu

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie po prostu $a$. Wynik pierwiastkowania głównego jest nieujemny.

11.Nierówność trójkąta

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ zachodzi $|a+b|\le |a|+|b|$. Moduł sumy nie przekracza sumy modułów.

12.Nierówność odwrotna

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ zachodzi $||a|-|b||\le |a-b|$. Różnica odległości od zera nie może być większa niż odległość między liczbami.

13.Równanie $|x|=a$

Dla $a>0$ równanie $|x|=a$ ma dwa rozwiązania: $x=a$ lub $x=-a$. Dla $a=0$ ma jedno rozwiązanie: $x=0$. Dla $a<0$ nie ma rozwiązań.

14.Nierówność $|x|<a$

Jeśli $a>0$, to $|x|<a \iff -a<x<a$. Szukamy liczb, których odległość od zera jest mniejsza niż $a$.

15.Nierówność $|x|>a$

Jeśli $a>0$, to $|x|>a \iff x<-a$ lub $x>a$. Szukamy liczb leżących poza przedziałem $[-a,a]$.

16.Równanie $|x-a|=r$

Jeśli $r\ge 0$, to $|x-a|=r$ oznacza, że liczba $x$ jest w odległości $r$ od $a$, więc $x=a-r$ lub $x=a+r$. Gdy $r<0$, brak rozwiązań.

17.Nierówność $|x-a|<r$

Dla $r>0$ mamy $|x-a|<r \iff a-r<x<a+r$. To liczby położone bliżej niż $r$ od punktu $a$.

18.Nierówność $|x-a|>r$

Dla $r>0$ mamy $|x-a|>r \iff x<a-r$ lub $x>a+r$. To liczby oddalone od punktu $a$ bardziej niż o $r$.