Całkowanie przez części i pola powierzchni

1.Całkowanie przez części

Metoda obliczania całek oparta na wzorze wynikającym z pochodnej iloczynu. Pozwala zamienić trudniejszą całkę na prostszą, odpowiednio wybierając funkcje $u$ i $v'$.

2.Wzór na całkowanie przez części

Dla funkcji różniczkowalnych i całkowalnych stosujemy wzór: $$\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du.$$ Najpierw wybieramy $u$ i $dv$, potem liczymy $du$ oraz $v$.

3.Wybór $u$ w metodzie przez części

Jako $u$ zwykle wybiera się funkcję, której pochodna upraszcza wyrażenie, np. wielomian, $\ln x$ lub funkcję odwrotną trygonometryczną. Dzięki temu nowa całka jest łatwiejsza.

4.Wybór $dv$ w metodzie przez części

Jako $dv$ wybiera się część wyrażenia, którą łatwo scałkować, aby otrzymać $v$. Często są to funkcje wykładnicze, trygonometryczne lub proste potęgi.

5.Całka oznaczona

Całka oznaczona $$\int_a^b f(x)\,dx$$ opisuje zorientowane pole między wykresem funkcji a osią $OX$ na przedziale $[a,b]$. Gdy wykres leży poniżej osi, wartość całki jest ujemna.

6.Pole obszaru pod wykresem

Jeśli $f(x)\geq 0$ na $[a,b]$, to pole obszaru ograniczonego wykresem $y=f(x)$, osią $OX$ i prostymi $x=a$, $x=b$ wynosi $$P=\int_a^b f(x)\,dx.$$

7.Pole przy funkcji ujemnej

Jeśli $f(x)\leq 0$ na $[a,b]$, to pole obszaru jest równe $$P=-\int_a^b f(x)\,dx$$ albo równoważnie $$P=\int_a^b |f(x)|\,dx.$$

8.Pole między wykresami

Jeśli na przedziale $[a,b]$ funkcja $f$ leży wyżej niż $g$, to pole obszaru między wykresami wynosi $$P=\int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$

9.Punkty przecięcia wykresów

Aby wyznaczyć granice całkowania przy polu między krzywymi, najpierw rozwiązujemy równanie $$f(x)=g(x).$$ Otrzymane miejsca przecięcia często są końcami przedziałów.

10.Podział przedziału przy polu

Gdy funkcje przecinają się w środku rozpatrywanego przedziału albo zmienia się znak funkcji, pole trzeba liczyć na kilku przedziałach i zsumować otrzymane dodatnie wartości.