Pochodna funkcji i jej zastosowania

1.Pochodna funkcji w punkcie

Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ to granica ilorazu różnicowego: $f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, o ile istnieje. Opisuje chwilowe tempo zmian funkcji oraz nachylenie stycznej do wykresu w tym punkcie.

2.Iloraz różnicowy

Wyrażenie $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ dla $h\neq 0$. Przed przejściem do granicy opisuje średnie tempo zmian funkcji na krótkim przedziale, a jego granica daje pochodną.

3.Interpretacja geometryczna pochodnej

Wartość $f'(x_0)$ jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej $x_0$. Gdy $f'(x_0)>0$, styczna rośnie, a gdy $f'(x_0)<0$, maleje.

4.Interpretacja fizyczna pochodnej

W wielu zastosowaniach pochodna oznacza chwilowe tempo zmian. Na przykład jeśli $s(t)$ jest drogą, to $s'(t)$ oznacza prędkość chwilową, a $v'(t)$ przyspieszenie.

5.Funkcja różniczkowalna

Funkcja jest różniczkowalna w punkcie, gdy ma w nim pochodną. Różniczkowalność pociąga za sobą ciągłość w tym punkcie, ale sama ciągłość nie gwarantuje istnienia pochodnej.

6.Punkty niedyferencjowalności

Pochodna może nie istnieć, gdy wykres ma ostry wierzchołek, punkt załamania, styczną pionową albo nieciągłość. Przykładem jest funkcja $f(x)=|x|$ w punkcie $x=0$.

7.Pochodna funkcji stałej

Jeśli $f(x)=c$, gdzie $c$ jest stałe, to $f'(x)=0$. Wykres funkcji stałej jest linią poziomą, więc jego styczna ma nachylenie równe $0$.

8.Pochodna funkcji liniowej

Jeśli $f(x)=ax+b$, to $f'(x)=a$. Współczynnik przy $x$ jest stałym tempem zmian i jednocześnie współczynnikiem kierunkowym wykresu.

9.Reguła potęgowa

Dla wielomianów i potęg o odpowiednich wykładnikach: jeśli $f(x)=x^n$, to $f'(x)=nx^{n-1}$. To jedna z najczęściej używanych reguł różniczkowania w zadaniach szkolnych.

10.Reguła sumy i różnicy

Pochodna sumy jest sumą pochodnych, a pochodna różnicy jest różnicą pochodnych: $(f\pm g)'=f'\pm g'$. Dzięki temu można różniczkować bardziej złożone wyrażenia składnik po składniku.

11.Reguła iloczynu

Dla funkcji $f$ i $g$: $(fg)'=f'g+fg'$. Nie wolno mnożyć pochodnych zamiast stosować tej reguły; trzeba zachować oba składniki mieszane.

12.Reguła ilorazu

Dla $g(x)\neq 0$: $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$. W liczniku pojawia się różnica iloczynów, a w mianowniku kwadrat mianownika.

13.Pochodna funkcji złożonej

Jeśli funkcja ma postać złożenia, stosujemy regułę łańcuchową: $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$. Najpierw różniczkujemy „zewnętrzną”, potem mnożymy przez pochodną „wewnętrznej”.

14.Pochodne funkcji elementarnych

W szkole średniej często używa się m.in. wzorów: $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ dla $x>0$.

15.Monotoniczność funkcji

Znak pochodnej pomaga badać monotoniczność. Jeśli $f'(x)>0$ w przedziale, funkcja rośnie, a jeśli $f'(x)<0$, funkcja maleje. Gdy $f'(x)=0$, trzeba zbadać otoczenie punktu.

16.Punkt krytyczny

To punkt należący do dziedziny, w którym $f'(x)=0$ lub pochodna nie istnieje. Takie punkty są kandydatami na ekstrema lokalne, ale nie każdy punkt krytyczny jest ekstremum.

17.Ekstremum lokalne

Funkcja ma maksimum lokalne, gdy w pewnym otoczeniu przyjmuje wartości nie większe niż w danym punkcie, a minimum lokalne — nie mniejsze. Często wykrywa się je przez zmianę znaku pochodnej.

18.Wypukłość i wklęsłość

Druga pochodna opisuje krzywiznę wykresu. Gdy $f''(x)>0$, wykres jest wypukły, a gdy $f''(x)<0$, wklęsły w danym przedziale.

19.Punkt przegięcia

To punkt, w którym funkcja zmienia wypukłość na wklęsłość albo odwrotnie. Często w takim punkcie druga pochodna zmienia znak; samo równanie $f''(x)=0$ nie wystarcza.

20.Równanie stycznej

Styczna do wykresu $y=f(x)$ w punkcie $x_0$ ma równanie $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$. Trzeba znać zarówno wartość funkcji, jak i wartość pochodnej w tym punkcie.