Liczby naturalne, całkowite i wymierne
Matematyka · autor: poziomka
Zestaw wyjaśnia, czym są liczby naturalne, całkowite i wymierne oraz jak zapisuje się je na osi liczbowej. Utrwalisz działania, porównywanie liczb, wartość bezwzględną, liczby przeciwne i zasady zamiany ułamków na rozwinięcia dziesiętne.
1.Liczby naturalne
Liczby służące między innymi do liczenia: . W niektórych podręcznikach symbol liczb naturalnych oznacza zbiór bez zera, dlatego warto sprawdzić przyjętą umowę.
2.Liczby całkowite
Liczby naturalne, ich liczby przeciwne oraz zero, np. . Nie mają części ułamkowej.
3.Liczby wymierne
Liczby, które można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych , gdzie . Należą do nich liczby całkowite, ułamki zwykłe oraz rozwinięcia dziesiętne skończone i okresowe.
4.Relacja między zbiorami liczb
Każda liczba naturalna jest całkowita, a każda liczba całkowita jest wymierna. Zatem zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze całkowitych, a ten w zbiorze wymiernych.
5.Liczba przeciwna
Liczba, która po dodaniu do danej liczby daje zero. Liczbą przeciwną do jest , a do jest . Zero jest przeciwne samo do siebie.
6.Wartość bezwzględna
Odległość liczby od zera na osi liczbowej. Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, np. oraz .
7.Oś liczbowa
Prosta z zaznaczonym zerem i jednostką, na której liczby większe leżą bardziej na prawo, a liczby mniejsze bardziej na lewo.
8.Porównywanie liczb ujemnych
Spośród liczb ujemnych większa jest ta leżąca bliżej zera. Dlatego .
9.Ułamek zwykły
Zapis ilorazu licznika i mianownika, np. . Mianownik nie może być równy zeru.
10.Licznik i mianownik
W ułamku licznik określa, ile części bierzemy, a mianownik określa, na ile równych części podzielono całość.
11.Ułamek właściwy
Ułamek, którego wartość bezwzględna jest mniejsza od , np. lub .
12.Ułamek niewłaściwy
Ułamek, którego wartość bezwzględna jest większa lub równa , np. albo .
13.Rozszerzanie ułamka
Mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Nie zmienia wartości ułamka, np. .
14.Skracanie ułamka
Dzielenie licznika i mianownika przez ich wspólny dzielnik różny od zera. Na przykład po podzieleniu obu liczb przez .
15.Ułamek nieskracalny
Ułamek, którego licznika i mianownika nie można podzielić przez tę samą liczbę naturalną większą od .
16.Ułamek dziesiętny skończony
Liczba zapisana dziesiętnie z ograniczoną liczbą cyfr po przecinku, np. lub . Jest liczbą wymierną.
17.Ułamek dziesiętny okresowy
Rozwinięcie dziesiętne, w którym jedna cyfra lub grupa cyfr powtarza się bez końca, np. albo . Jest liczbą wymierną.
18.Okres rozwinięcia dziesiętnego
Najkrótszy blok cyfr powtarzający się w rozwinięciu okresowym. W liczbie okresem jest .
19.Dodawanie liczb o tych samych znakach
Dodaje się wartości bezwzględne i zachowuje wspólny znak, np. .
20.Dodawanie liczb o różnych znakach
Odejmuje się mniejszą wartość bezwzględną od większej, a wynik otrzymuje znak liczby o większej wartości bezwzględnej, np. .
21.Odejmowanie liczb całkowitych
Odejmowanie liczby zastępuje się dodawaniem liczby przeciwnej: . Na przykład .
22.Mnożenie i dzielenie liczb ze znakami
Iloczyn lub iloraz liczb o takich samych znakach jest dodatni, a liczb o różnych znakach jest ujemny. Dzielenie przez zero jest niemożliwe.
23.Kolejność wykonywania działań
Najpierw wykonuje się działania w nawiasach, potem potęgowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.
24.Zamiana ułamka na rozwinięcie dziesiętne
Aby otrzymać zapis dziesiętny ułamka, dzieli się licznik przez mianownik. Wynik będzie skończony albo okresowy.
25.Zamiana liczby dziesiętnej na ułamek zwykły
Liczbę skończoną zapisuje się z mianownikiem będącym potęgą liczby , a następnie skraca, np. .
26.Gęstość liczb wymiernych
Między każdymi dwiema różnymi liczbami wymiernymi istnieje inna liczba wymierna, a nawet nieskończenie wiele takich liczb.
27.Domknięcie działań
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie dwóch liczb całkowitych daje liczbę całkowitą. Dzielenie nie zawsze: nie jest liczbą całkowitą, ale jest wymierna.
28.Dzielenie przez zero
Działanie nie jest określone dla żadnej liczby . Nie istnieje liczba, przez której pomnożenie przez zero otrzymalibyśmy niezerowe .
Notatka
Podstawowe zbiory liczb
W szkolnej matematyce często rozpatruje się kolejne, coraz szersze zbiory liczb. Liczby naturalne służą przede wszystkim do liczenia. Zwykle zapisuje się je jako , choć w niektórych zadaniach zero bywa wyłączone ze zbioru liczb naturalnych. Zawsze warto sprawdzić umowę podaną w poleceniu.
Liczby całkowite obejmują liczby naturalne, zero i liczby ujemne: . Nie mają części ułamkowej.
Liczby wymierne to liczby możliwe do zapisania w postaci , gdzie i są liczbami całkowitymi, a . Każda liczba całkowita jest wymierna, ponieważ np. .
Zapamiętaj
Każda liczba naturalna jest całkowita, a każda całkowita jest wymierna.
Oś liczbowa, porządek i znaki
Na osi liczbowej liczby rosną w prawo, a maleją w lewo. Zero rozdziela liczby dodatnie i ujemne. Każda liczba dodatnia jest większa od zera, a każda liczba ujemna jest od zera mniejsza.
Porównując dwie liczby ujemne, trzeba pamiętać, że większa jest ta położona bliżej zera. Dlatego . Częstym błędem jest porównywanie samych cyfr bez uwzględnienia znaku minus.
Liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną i różne znaki. Ich suma wynosi zero, np. . Liczbą przeciwną do zera jest samo zero.
Wartość bezwzględna liczby oznacza jej odległość od zera. Zatem oraz . Wynik wartości bezwzględnej nie może być ujemny.
Ułamki zwykłe i ich przekształcanie
Ułamek zwykły ma postać . Licznik znajduje się nad kreską ułamkową, a mianownik pod nią. Kreska oznacza dzielenie, dlatego mianownik nie może być zerem.
Ułamek taki jak jest właściwy, ponieważ jego wartość bezwzględna jest mniejsza od . Ułamek jest niewłaściwy, bo jego wartość jest większa od . Ułamek ma wartość , więc również zalicza się do niewłaściwych.
Wartość ułamka nie zmienia się przy mnożeniu lub dzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. To odpowiednio rozszerzanie i skracanie ułamka. Na przykład , a .
Ważne
Skracać wolno tylko licznik i mianownik przez ten sam wspólny dzielnik, nigdy nie wolno „skreślać” składników dodawania.
Rozwinięcia dziesiętne
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone albo nieskończone okresowe. Rozwinięcie skończone ma ograniczoną liczbę cyfr po przecinku, np. lub . Rozwinięcie okresowe zawiera blok cyfr powtarzający się bez końca, np. albo .
Nawias wskazuje okres, czyli powtarzający się fragment. Zapis oznacza , a nie tylko .
Aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, wykonuje się dzielenie licznika przez mianownik. Liczbę dziesiętną skończoną można natomiast zapisać jako ułamek z mianownikiem , , i tak dalej, a potem skrócić.
Przykład
.
Działania na liczbach ze znakami
Przy dodawaniu liczb o tym samym znaku dodaje się ich wartości bezwzględne i zachowuje wspólny znak, np. . Gdy znaki są różne, odejmuje się mniejszą wartość bezwzględną od większej i pozostawia znak liczby o większej wartości bezwzględnej. Stąd .
Odejmowanie zastępujemy dodawaniem liczby przeciwnej: . Dlatego . Szczególnej uwagi wymagają dwa znaki obok siebie.
Przy mnożeniu i dzieleniu obowiązuje reguła znaków: iloczyn lub iloraz liczb o tych samych znakach jest dodatni, a liczb o różnych znakach jest ujemny. Na przykład , natomiast .
Dzielenie przez zero jest niemożliwe: wyrażenie nie ma wartości.
Kolejność działań i własności zbiorów
W wyrażeniach rachunkowych najpierw wykonujemy działania w nawiasach, następnie potęgowanie, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Dlatego , ale .
Liczby całkowite są zamknięte na dodawanie, odejmowanie i mnożenie: wynik tych działań dla dwóch liczb całkowitych nadal jest całkowity. Nie są jednak zamknięte na dzielenie, ponieważ , a wynik nie jest całkowity. Jest za to wymierny.
Między dwiema różnymi liczbami wymiernymi można znaleźć nieskończenie wiele innych liczb wymiernych. Między i leży na przykład . Ta własność oznacza, że na osi liczbowej nie istnieje „następna” liczba wymierna.
Quizy w tym zestawie
32 pytań w 4 etapach — odblokujesz je po dodaniu zestawu