NWD i NWW – obliczanie oraz zastosowania

1.Największy wspólny dzielnik (NWD)

Największa dodatnia liczba naturalna, która dzieli bez reszty każdą z rozważanych liczb. Zapis: $\operatorname{NWD}(a,b)$.

2.Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Najmniejsza dodatnia liczba naturalna, która jest wielokrotnością każdej z rozważanych liczb. Zapis: $\operatorname{NWW}(a,b)$.

3.Dzielnik liczby

Liczba naturalna $d$, która dzieli liczbę $a$ bez reszty. Zapis $d\mid a$ oznacza, że istnieje liczba całkowita $k$ taka, że $a=d\cdot k$.

4.Wielokrotność liczby

Liczba postaci $a\cdot k$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Na przykład $24$ jest wielokrotnością $6$, ponieważ $24=6\cdot4$.

5.Liczby względnie pierwsze

Dwie liczby naturalne są względnie pierwsze, gdy ich NWD jest równy $1$. Nie muszą przy tym same być liczbami pierwszymi.

6.Liczba pierwsza

Liczba naturalna większa od $1$, mająca dokładnie dwa dodatnie dzielniki: $1$ oraz samą siebie.

7.Rozkład na czynniki pierwsze

Przedstawienie liczby jako iloczynu liczb pierwszych, na przykład $60=2^2\cdot3\cdot5$. Dla liczby większej od $1$ taki rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.

8.NWD z rozkładu na czynniki pierwsze

Wybieramy tylko wspólne czynniki pierwsze, każdy w najmniejszej potędze występującej w rozkładach danych liczb, a następnie je mnożymy.

9.NWW z rozkładu na czynniki pierwsze

Bierzemy wszystkie czynniki pierwsze występujące w rozkładach, każdy w największej potrzebnej potędze, a następnie je mnożymy.

10.Przykład obliczania NWD

Dla $36=2^2\cdot3^2$ oraz $60=2^2\cdot3\cdot5$ mamy $\operatorname{NWD}(36,60)=2^2\cdot3=12$.

11.Przykład obliczania NWW

Dla $36=2^2\cdot3^2$ oraz $60=2^2\cdot3\cdot5$ mamy $\operatorname{NWW}(36,60)=2^2\cdot3^2\cdot5=180$.

12.Zależność między NWD i NWW

Dla dodatnich liczb naturalnych zachodzi wzór $\operatorname{NWD}(a,b)\cdot\operatorname{NWW}(a,b)=a\cdot b$.

13.Wyznaczanie NWW ze wzoru

Dla dodatnich liczb naturalnych można obliczyć $\operatorname{NWW}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{NWD}(a,b)}$.

14.Algorytm Euklidesa

Metoda wyznaczania NWD oparta na kolejnym dzieleniu z resztą. Jeżeli $a=b\cdot q+r$, to $\operatorname{NWD}(a,b)=\operatorname{NWD}(b,r)$.

15.Ostatnia niezerowa reszta

W algorytmie Euklidesa ostatnia reszta różna od zera jest szukanym NWD.

16.NWD liczby z nią samą

Dla każdej dodatniej liczby naturalnej $a$ zachodzi $\operatorname{NWD}(a,a)=a$.

17.NWW liczby z nią samą

Dla każdej dodatniej liczby naturalnej $a$ zachodzi $\operatorname{NWW}(a,a)=a$.

18.NWD liczb względnie pierwszych

Jeśli liczby $a$ i $b$ są względnie pierwsze, to $\operatorname{NWD}(a,b)=1$.

19.NWW liczb względnie pierwszych

Jeśli dodatnie liczby $a$ i $b$ są względnie pierwsze, to $\operatorname{NWW}(a,b)=a\cdot b$.

20.Zastosowanie NWD w zadaniach tekstowych

NWD stosuje się, gdy trzeba podzielić przedmioty na największe możliwe jednakowe grupy bez reszty albo wyciąć najdłuższe równe odcinki.

21.Zastosowanie NWW w zadaniach tekstowych

NWW stosuje się przy okresowo powtarzających się zdarzeniach, aby ustalić, po jakim najmniejszym czasie wystąpią ponownie jednocześnie.

22.Skracanie ułamków zwykłych

Aby maksymalnie skrócić ułamek $\frac{a}{b}$, dzieli się licznik i mianownik przez $\operatorname{NWD}(a,b)$.

23.Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Najwygodniejszym wspólnym mianownikiem ułamków o mianownikach $a$ i $b$ jest zwykle $\operatorname{NWW}(a,b)$.

24.NWD wielu liczb

NWD kilku liczb można obliczać kolejno, na przykład $\operatorname{NWD}(a,b,c)=\operatorname{NWD}(\operatorname{NWD}(a,b),c)$.

25.NWW wielu liczb

NWW kilku liczb można obliczać kolejno, na przykład $\operatorname{NWW}(a,b,c)=\operatorname{NWW}(\operatorname{NWW}(a,b),c)$.