Liczby wymierne – działania i własności
Matematyka · autor: poziomka
Zestaw obejmuje definicję liczb wymiernych, ich zapis, porównywanie oraz działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Utrwalisz też kolejność działań, obliczanie wartości wyrażeń i typowe zastosowania liczb wymiernych w zadaniach.
1.Liczba wymierna
Liczba, którą można zapisać w postaci ułamka , gdzie i są liczbami całkowitymi oraz .
2.Zbiór liczb wymiernych
Zbiór wszystkich liczb wymiernych. Należą do niego liczby całkowite, ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne skończone i rozwinięcia dziesiętne okresowe.
3.Postać ułamka zwykłego
Zapis liczby wymiernej jako . Licznik wskazuje, ile części rozpatrujemy, a mianownik – na ile równych części podzielono całość.
4.Mianownik ułamka
Liczba znajdująca się pod kreską ułamkową. Nie może być równa , ponieważ dzielenie przez zero nie jest określone.
5.Licznik ułamka
Liczba znajdująca się nad kreską ułamkową. Może być dodatnia, ujemna albo równa .
6.Ułamek właściwy
Ułamek, którego wartość bezwzględna jest mniejsza od ; dla dodatnich licznika i mianownika licznik jest mniejszy od mianownika, np. .
7.Ułamek niewłaściwy
Ułamek, którego wartość bezwzględna jest co najmniej równa ; dla dodatnich licznika i mianownika licznik jest większy lub równy mianownikowi, np. .
8.Liczba mieszana
Zapis składający się z części całkowitej i ułamka właściwego, np. . Można ją zamienić na ułamek niewłaściwy.
9.Skracanie ułamka
Dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Wartość ułamka się nie zmienia, np. .
10.Rozszerzanie ułamka
Mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Otrzymuje się ułamek o tej samej wartości, np. .
11.Ułamki równe
Ułamki przedstawiające tę samą liczbę, np. , i . Powstają przez skracanie lub rozszerzanie.
12.Ułamek nieskracalny
Ułamek, którego licznika i mianownika nie można już skrócić przez wspólny dzielnik większy od .
13.Wspólny mianownik
Mianownik, do którego można sprowadzić dwa lub więcej ułamków. Ułatwia dodawanie, odejmowanie i porównywanie ułamków.
14.Najmniejszy wspólny mianownik
Najmniejsza dodatnia wspólna wielokrotność mianowników danych ułamków. Pozwala zwykle wykonywać obliczenia najkrótszą drogą.
15.Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku
Dodaje się liczniki, a mianownik pozostawia bez zmiany: .
16.Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
Najpierw sprowadza się ułamki do wspólnego mianownika, a następnie dodaje ich liczniki.
17.Odejmowanie ułamków
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika odejmuje się liczniki. Np. .
18.Mnożenie ułamków
Mnoży się liczniki przez siebie i mianowniki przez siebie: . Przed mnożeniem warto skracać „na krzyż”.
19.Dzielenie ułamków
Dzielenie przez ułamek zastępuje się mnożeniem przez jego odwrotność: , przy .
20.Odwrotność liczby
Dla liczby różnej od zera jest to liczba, której iloczyn z daną liczbą wynosi . Odwrotnością jest .
21.Liczba przeciwna
Liczba o tej samej wartości bezwzględnej, lecz przeciwnym znaku. Liczbą przeciwną do jest .
22.Wartość bezwzględna
Odległość liczby od zera na osi liczbowej. Jest zawsze nieujemna, np. .
23.Ułamek dziesiętny skończony
Liczba zapisana po przecinku, której zapis ma skończoną liczbę cyfr, np. . Jest liczbą wymierną.
24.Ułamek dziesiętny okresowy
Rozwinięcie dziesiętne, w którym od pewnego miejsca powtarza się blok cyfr, np. lub . Każdy taki ułamek jest wymierny.
25.Okres rozwinięcia dziesiętnego
Najkrótszy blok cyfr, który powtarza się w rozwinięciu dziesiętnym okresowym. W liczbie okresem jest .
26.Porównywanie liczb wymiernych
Liczby dodatnie są większe od zera, a ujemne mniejsze. Ułamki o dodatnich mianownikach porównuje się po sprowadzeniu do wspólnego mianownika albo przez mnożenie „na krzyż”.
27.Oś liczbowa
Prosta, na której każdej liczbie odpowiada punkt. Liczby większe leżą bardziej na prawo, a mniejsze bardziej na lewo.
28.Kolejność działań
Najpierw wykonuje się działania w nawiasach, potem potęgowanie, następnie mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a na końcu dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej.
29.Procent jako liczba wymierna
Procent oznacza setną część całości: . Na przykład .
30.Gęstość liczb wymiernych
Między dowolnymi dwiema różnymi liczbami wymiernymi istnieje inna liczba wymierna, np. ich średnia arytmetyczna.
Notatka
Czym są liczby wymierne?
Liczby wymierne to liczby, które da się przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych: , gdzie oraz . Ich zbiór oznaczamy symbolem .
Do liczb wymiernych należą liczby całkowite, na przykład , i , ponieważ każdą z nich można zapisać z mianownikiem . Należą do nich również ułamki zwykłe oraz ułamki dziesiętne skończone i okresowe.
Ważne
Mianownik nie może być równy , ponieważ dzielenie przez zero nie jest określone.
Liczbami niewymiernymi są między innymi , i . Mają one nieskończone, nieokresowe rozwinięcia dziesiętne, dlatego nie można ich zapisać jako dla liczb całkowitych i .
Ułamki zwykłe i ich przekształcanie
W ułamku liczba to licznik, a liczba to mianownik. Ułamek dodatni jest właściwy, gdy jego wartość jest mniejsza od , na przykład . Gdy wartość jest co najmniej równa , otrzymujemy ułamek niewłaściwy, np. .
Liczbę mieszaną można zapisać jako ułamek niewłaściwy. Dla liczymy , więc otrzymujemy .
Skracanie ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Rozszerzanie ułamka polega na pomnożeniu obu tych liczb przez tę samą liczbę różną od zera. Obie czynności nie zmieniają wartości ułamka.
Zapamiętaj
Ułamek jest nieskracalny wtedy, gdy jego licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od .
Porównywanie i położenie na osi
Na osi liczbowej liczby większe znajdują się na prawo, a mniejsze na lewo. Każda liczba dodatnia jest większa od zera, zaś każda ujemna jest od zera mniejsza. Wśród liczb ujemnych większa jest ta położona bliżej zera, np. .
Ułamki o tym samym dodatnim mianowniku porównuje się, porównując liczniki. Przy różnych mianownikach najlepiej sprowadzić liczby do wspólnego mianownika. Można też zastosować mnożenie krzyżowe, pamiętając, że opisane porównanie jest proste przy dodatnich mianownikach.
Wartość bezwzględna oznacza odległość liczby od zera. Z tego powodu zawsze jest nieujemna. Liczba przeciwna do to , a suma liczby i liczby przeciwnej wynosi .
Przykład
Ponieważ , a , zachodzi .
Dodawanie i odejmowanie
Przy dodawaniu lub odejmowaniu ułamków nie wolno dodawać ani odejmować mianowników. Jeśli mianowniki są jednakowe, wykonujemy działanie tylko na licznikach: .
Gdy mianowniki są różne, należy znaleźć najmniejszy wspólny mianownik, zwykle będący najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników. Następnie rozszerzamy ułamki do tego mianownika i wykonujemy działanie na licznikach.
Dla wspólnym mianownikiem jest . Po rozszerzeniu mamy . Otrzymany wynik warto na końcu skrócić, jeśli jest to możliwe.
Mnożenie, dzielenie i kolejność działań
Przy mnożeniu ułamków mnożymy liczniki przez siebie oraz mianowniki przez siebie: . Przed mnożeniem można skracać czynniki licznika i mianownika, co upraszcza rachunki.
Przy dzieleniu ułamków drugi ułamek zastępujemy jego odwrotnością, a potem mnożymy. Odwrotnością jest , o ile . Liczba nie ma odwrotności.
W wyrażeniach stosujemy kolejność działań: nawiasy, potęgowanie, mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie. Działania o tym samym priorytecie wykonujemy od lewej do prawej.
Ważne
Dzielenie przez ułamek nie oznacza dzielenia licznika przez licznik i mianownika przez mianownik; trzeba pomnożyć przez odwrotność dzielnika.
Zapisy dziesiętne, procenty i własności zbioru
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone albo okresowe. Przykładowo , a . Okres to blok cyfr powtarzający się nieskończenie wiele razy.
Procent jest innym zapisem części całości: . Na przykład . Umiejętność zamiany między ułamkiem zwykłym, dziesiętnym i procentem jest przydatna w zadaniach dotyczących obniżek, podwyżek, statystyki i prawdopodobieństwa.
Liczby wymierne są gęste na osi liczbowej: między każdymi dwiema różnymi liczbami wymiernymi można wskazać następną liczbę wymierną. Często można użyć ich średniej arytmetycznej, np. między i znajduje się .
Quizy w tym zestawie
24 pytań w 3 etapach — odblokujesz je po dodaniu zestawu