Graniastosłupy i ostrosłupy - pola oraz objętości

Graniastosłup to bryła mająca dwie podstawy: są one przystające i leżą w równoległych płaszczyznach. Pozostałe ściany to ściany boczne, które w ogólnym graniastosłupie są równoległobokami.

Szczególnie często rozpatruje się graniastosłup prosty. Jego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, dlatego ściany boczne są prostokątami. W takim graniastosłupie długość krawędzi bocznej jest równa wysokości bryły.

Wysokość $H$ to odległość między płaszczyznami podstaw. Należy odróżniać ją od wysokości wielokąta znajdującego się w podstawie.

Aby obliczyć objętość graniastosłupa, najpierw wyznacz pole jednej podstawy $P_p$, a następnie pomnóż je przez wysokość bryły:

$$V=P_p\cdot H$$

W graniastosłupie prostym pole boczne jest sumą pól prostokątów tworzących ściany boczne. Każdy z nich ma wysokość $H$, a suma ich szerokości to obwód podstawy $O_p$, stąd:

$$P_b=O_p\cdot H$$

Pole całkowite obejmuje dwie podstawy i ściany boczne:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Ostrosłup ma tylko jedną podstawę, będącą wielokątem. Każda ściana boczna jest trójkątem, a wszystkie te trójkąty mają wspólny wierzchołek ostrosłupa.

Wysokość ostrosłupa to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do płaszczyzny podstawy. Jej spodek może leżeć wewnątrz podstawy, ale nie należy automatycznie utożsamiać wysokości z krawędzią boczną.

W ostrosłupie prawidłowym podstawą jest wielokąt foremny, a spodek wysokości znajduje się w środku podstawy. Ściany boczne są wtedy przystającymi trójkątami równoramiennymi. Ich wysokość nazywa się apotemą ostrosłupa i oznacza często przez $l$.

Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru:

$$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H$$

W porównaniu z graniastosłupem o tym samym polu podstawy i tej samej wysokości ostrosłup ma objętość trzy razy mniejszą.

Pole całkowite ostrosłupa jest sumą pola jedynej podstawy i pola bocznego:

$$P_c=P_p+P_b$$

W ostrosłupie prawidłowym można szybko wyznaczyć pole boczne, korzystając z obwodu podstawy i apotemy:

$$P_b=\frac{1}{2}O_p\cdot l$$

Najpierw wykonaj rysunek i oznacz wszystkie dane. Ustal, jaki wielokąt jest podstawą, ponieważ od tego zależy sposób obliczenia pola podstawy. Może to być na przykład trójkąt, prostokąt, kwadrat, romb lub trapez.

Jeśli w zadaniu podano przekątną bryły albo krawędź boczną, często trzeba zastosować twierdzenie Pitagorasa w odpowiednio wybranym trójkącie prostokątnym. W ostrosłupie prawidłowym taki trójkąt może zawierać wysokość $H$, apotemę $l$ i odległość środka podstawy od jej boku.

Pamiętaj o jednostkach: pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych, np. $\text{cm}^2$, a objętość w jednostkach sześciennych, np. $\text{cm}^3$.

Dwie bryły są podobne, gdy wszystkie odpowiadające sobie długości pozostają w tym samym stosunku $k$, zwanym skalą podobieństwa. Dotyczy to między innymi krawędzi, wysokości i przekątnych.

Jeżeli długości zwiększono $k$ razy, pola powierzchni zwiększają się $k^2$ razy, a objętości $k^3$ razy. Jest to ważne w zadaniach o modelach i powiększeniach brył.

Dla skali $k=2$ pole powierzchni jest cztery razy większe, natomiast objętość jest osiem razy większa. Nie wolno stosować tego samego mnożnika jednocześnie do długości, pól i objętości.