Wartość bezwzględna: interpretacja i równania

Wartość bezwzględna liczby opisuje jej odległość od zera na osi liczbowej. Odległość jest zawsze nieujemna, dlatego wartość bezwzględna nie może być mniejsza od zera.

Dla liczby dodatniej wartość bezwzględna jest równa tej liczbie, a dla liczby ujemnej jest równa liczbie przeciwnej:

• jeśli $x\geq 0$, to $|x|=x$;
• jeśli $x<0$, to $|x|=-x$.

Aby obliczyć wartość bezwzględną, najpierw ustalamy znak liczby znajdującej się między kreskami. Jeśli liczba jest nieujemna, przepisujemy ją bez zmiany. Jeśli jest ujemna, zmieniamy jej znak.

W przypadku wyrażeń należy najpierw obliczyć wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej, a dopiero potem zastosować definicję. Na przykład $|3-10|=|-7|=7$.

Jeżeli punkty na osi liczbowej mają współrzędne $a$ i $b$, to ich odległość wynosi $|a-b|$. Można również użyć zapisu $|b-a|$, ponieważ oba wyrażenia mają tę samą wartość.

Interpretacja geometryczna pomaga uniknąć błędów ze znakami. Nie ma znaczenia, który punkt zapiszemy jako pierwszy, ponieważ wynik ma przedstawiać odległość, a więc liczbę nieujemną.

Równanie $|x|=a$ rozpatrujemy zależnie od wartości prawej strony. Gdy $a>0$, istnieją dwie liczby oddalone od zera o $a$: $x=a$ oraz $x=-a$. Gdy $a=0$, jedynym rozwiązaniem jest $x=0$. Gdy $a<0$, rozwiązań nie ma, ponieważ wartość bezwzględna nie przyjmuje wartości ujemnych.

Dla przykładu równanie $|x|=4$ ma rozwiązania $x=4$ i $x=-4$.

Wyrażenie $|x-a|$ oznacza odległość liczby $x$ od liczby $a$. Równanie $|x-a|=r$ opisuje więc punkty oddalone od środka $a$ o odległość $r$.

Dla $r>0$ rozwiązujemy je przez zapis:

• $x-a=r$ lub $x-a=-r$;
• stąd $x=a+r$ lub $x=a-r$.

W równaniu takim jak $|2x-1|=7$ rozpatrujemy dwa przypadki: $2x-1=7$ oraz $2x-1=-7$. Każdy z nich jest zwykłym równaniem liniowym.

Po rozwiązaniu obu równań trzeba sprawdzić otrzymane wyniki w równaniu wyjściowym. Taka kontrola pozwala wykryć błędy rachunkowe.