Matematyka

Wartość bezwzględna: interpretacja i równania

Zestaw wyjaśnia algebraiczne i geometryczne znaczenie wartości bezwzględnej oraz sposoby obliczania jej dla liczb i wyrażeń. Zawiera także rozwiązywanie prostych równań z wartością bezwzględną, interpretację odległości na osi liczbowej i przykłady typowe dla liceum.

Szkoła średnia10 fiszek17 pytań w 2 etapachnotatka

Podcast

Ładuję…

Quizy w tym zestawie

17 pytań w 2 etapach

Odblokujesz je po dodaniu zestawu.

Etap 1
8 fiszek · 9 pytań
Etap 2
2 fiszki · 8 pytań
Powtórka z całości
15 pytań ze wszystkich etapów, po ukończeniu etapów

Karty pracy

Ćwiczenia do wydruku na ten temat

Wartość bezwzględna i równania z parametremSzkoła średnia, klasy 1-2

Otwórz kartę pracy

Lekcje z kursów Odrabiamy

Obejrzyj albo posłuchaj o tym temacie

Równania z wartością bezwzględnąWideo, 12 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

1.Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Jest zawsze nieujemna. Dla liczby dodatniej pozostaje taka sama, a dla liczby ujemnej jest równa liczbie przeciwnej.

2.Definicja algebraiczna wartości bezwzględnej

Dla liczby rzeczywistej $x$ : jeśli $x \geq 0$ , to $|x|=x$ , a jeśli $x<0$ , to $|x|=-x$ .

3.Interpretacja geometryczna $|x|$

Wyrażenie $|x|$ oznacza odległość punktu o współrzędnej $x$ od punktu o współrzędnej $0$ na osi liczbowej.

4.Odległość dwóch punktów na osi

Odległość punktów o współrzędnych $a$ i $b$ wynosi $|a-b|$ . Kolejność odejmowania nie ma znaczenia, ponieważ $|a-b|=|b-a|$ .

5.Liczba przeciwna

Liczbą przeciwną do $x$ jest $-x$ . Liczby $x$ i $-x$ mają taką samą wartość bezwzględną, czyli $|-x|=|x|$ .

6.Podstawowe własności wartości bezwzględnej

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzą między innymi własności: $|x|\geq 0$ , $|x|=0$ tylko dla $x=0$ oraz $|x|^2=x^2$ .

7.Równanie $|x|=a$

Jeśli $a>0$ , równanie $|x|=a$ ma dwa rozwiązania: $x=a$ oraz $x=-a$ . Jeśli $a=0$ , rozwiązaniem jest tylko $x=0$ ; jeśli $a<0$ , równanie nie ma rozwiązań.

8.Równanie $|x-a|=r$

Równanie $|x-a|=r$ oznacza, że punkt $x$ jest oddalony od punktu $a$ o $r$ . Dla $r>0$ rozwiązania to $x=a-r$ oraz $x=a+r$ .

9.Rozwiązywanie równania $|x+a|=b$

Równanie $|x+a|=b$ dla $b\geq 0$ rozbijamy na dwa równania: $x+a=b$ lub $x+a=-b$ . Następnie rozwiązujemy oba równania liniowe.

10.Zapis przedziałowy odległości

Warunek, że odległość liczby $x$ od liczby $a$ wynosi co najwyżej $r$ , zapisuje się jako $|x-a|\leq r$ i oznacza liczby z przedziału od $a-r$ do $a+r$ . W tym zestawie najważniejsze są jednak równania z wartością bezwzględną.

Notatka

Znaczenie wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna liczby opisuje jej odległość od zera na osi liczbowej. Odległość jest zawsze nieujemna, dlatego wartość bezwzględna nie może być mniejsza od zera.

Dla liczby dodatniej wartość bezwzględna jest równa tej liczbie, a dla liczby ujemnej jest równa liczbie przeciwnej:

jeśli $x\geq 0$ , to $|x|=x$ ;
jeśli $x<0$ , to $|x|=-x$ .

Zapamiętaj

$|x|\geq 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , a $|x|=0$ tylko wtedy, gdy $x=0$ .

Obliczanie wartości bezwzględnej

Aby obliczyć wartość bezwzględną, najpierw ustalamy znak liczby znajdującej się między kreskami. Jeśli liczba jest nieujemna, przepisujemy ją bez zmiany. Jeśli jest ujemna, zmieniamy jej znak.

Przykład

$|8|=8$ , $|-8|=8$ , $|0|=0$ .

W przypadku wyrażeń należy najpierw obliczyć wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej, a dopiero potem zastosować definicję. Na przykład $|3-10|=|-7|=7$ .

Odległość dwóch punktów na osi

Jeżeli punkty na osi liczbowej mają współrzędne $a$ i $b$ , to ich odległość wynosi $|a-b|$ . Można również użyć zapisu $|b-a|$ , ponieważ oba wyrażenia mają tę samą wartość.

Interpretacja geometryczna pomaga uniknąć błędów ze znakami. Nie ma znaczenia, który punkt zapiszemy jako pierwszy, ponieważ wynik ma przedstawiać odległość, a więc liczbę nieujemną.

Ważne

Odległość punktów o współrzędnych $-3$ i $4$ wynosi $|-3-4|=|-7|=7$ , a nie $-7$ .

Równania postaci $|x|=a$

Równanie $|x|=a$ rozpatrujemy zależnie od wartości prawej strony. Gdy $a>0$ , istnieją dwie liczby oddalone od zera o $a$ : $x=a$ oraz $x=-a$ . Gdy $a=0$ , jedynym rozwiązaniem jest $x=0$ . Gdy $a<0$ , rozwiązań nie ma, ponieważ wartość bezwzględna nie przyjmuje wartości ujemnych.