Proporcjonalność odwrotna i hiperbola

Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy wraz ze wzrostem jednej z nich druga maleje tak, aby ich iloczyn pozostał niezmienny. Zależność opisuje wzór $y=a/x$, gdzie $a$ jest stałą różną od zera.

Jeżeli znamy parę odpowiadających sobie wartości $x$ i $y$, obliczamy stałą ze wzoru $a=x·y$. Następnie można wyznaczyć brakującą wartość, korzystając z zależności $x·y=a$.

Typowe przykłady to zależność czasu wykonania pracy od liczby pracowników przy stałej wydajności oraz zależność czasu podróży od prędkości przy stałej drodze.

Dla funkcji $f(x)=a/x$ argument nie może być równy zeru, ponieważ dzielenie przez zero nie jest określone. Dziedziną są więc wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem zera.

Także wartość funkcji nigdy nie wynosi zero. Niezerowy licznik $a$ nie może po podzieleniu przez liczbę różną od zera dać wyniku równego zero. Zbiorem wartości są zatem wszystkie liczby rzeczywiste poza zerem.

Funkcja nie ma miejsc zerowych i nie przecina ani osi $OX$, ani osi $OY$. Nie przecina osi $OX$, bo nie przyjmuje wartości zero, a osi $OY$, bo dla $x=0$ nie jest określona.

Wykresem funkcji proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola. Ma ona dwie oddzielne gałęzie. Osie układu współrzędnych są jej asymptotami: wykres może zbliżać się do nich dowolnie blisko, ale ich nie przecina.

Znak stałej $a$ określa położenie wykresu. Gdy $a>0$, argument i wartość funkcji mają taki sam znak, dlatego gałęzie leżą w pierwszej i trzeciej ćwiartce. Gdy $a<0$, znaki są przeciwne, więc gałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce.

Im większa jest wartość bezwzględna parametru $a$, tym dla ustalonego argumentu większa jest wartość bezwzględna funkcji. Parametr zmienia więc „rozmiar” hiperboli, lecz nie zmienia asymptot podstawowego wykresu.

Dziedzina funkcji jest rozdzielona przez liczbę zero na dwa przedziały: $(-∞,0)$ oraz $(0,∞)$. Nie należy mówić, że funkcja jest rosnąca lub malejąca na całej dziedzinie, ponieważ jej dziedzina nie tworzy jednego przedziału.

Dla $a>0$ funkcja jest malejąca zarówno na $(-∞,0)$, jak i na $(0,∞)$. Dla $a<0$ jest rosnąca na każdym z tych przedziałów.

W zadaniach z wykresem warto odczytać przede wszystkim: ćwiartki, w których znajdują się gałęzie, asymptoty, dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Aby wyznaczyć wzór funkcji proporcjonalności odwrotnej na podstawie punktu $(x,y)$, najpierw obliczamy parametr $a=x·y$, a potem zapisujemy funkcję w postaci $y=a/x$. Punkt musi mieć niezerową pierwszą współrzędną.

Jeśli na przykład wykres przechodzi przez punkt $(4,-3)$, to $a=4·(-3)=-12$. Otrzymujemy zatem wzór $y=-12/x$.

W zadaniach tekstowych najpierw ustal, które wielkości są odwrotnie proporcjonalne, a następnie zapisz stały iloczyn. Przy stałej długości trasy zachodzi na przykład zależność prędkość razy czas równa się drodze.

Funkcja postaci $y=a/(x-p)+q$ powstaje przez przesunięcie wykresu $y=a/x$. Liczba $p$ przesuwa wykres w poziomie, a liczba $q$ w pionie.

Jej asymptoty nie są już zwykle osiami układu. Mają równania $x=p$ oraz $y=q$. Punkt przecięcia asymptot jest środkiem symetrii hiperboli.

Należy uważać na znak w nawiasie: zapis $x-p$ oznacza przesunięcie o $p$ jednostek w prawo, natomiast $x+p$ — o $p$ jednostek w lewo. Dodanie $q$ poza ułamkiem przesuwa cały wykres o $q$ jednostek w górę lub w dół.