Równania i nierówności liniowe: sprzeczne i tożsamościowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą można po uporządkowaniu zapisać jako $ax+b=0$. Litery $a$ i $b$ oznaczają liczby rzeczywiste, a niewiadoma $x$ występuje wyłącznie w pierwszej potędze.

Podczas rozwiązywania stosuje się przekształcenia równoważne: można dodać lub odjąć tę samą liczbę po obu stronach równania, a także pomnożyć albo podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera. Warto najpierw usunąć nawiasy, zredukować wyrazy podobne, a następnie przenieść wyrazy z $x$ na jedną stronę.

Gdy po przekształceniach otrzymujemy równanie z niewiadomą, na przykład $4x=12$, równanie jest oznaczone i ma dokładnie jedno rozwiązanie. W ogólnej postaci $ax+b=0$ zachodzi to wtedy, gdy $a\ne0$.

Jeżeli niewiadoma znika, należy ocenić, czy pozostała równość jest prawdziwa. Zapis taki jak $0=0$ oznacza równanie tożsamościowe. Jest ono prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej, dlatego jego zbiór rozwiązań to $\mathbb{R}$.

Jeśli po uproszczeniu pojawia się fałsz, na przykład $0=4$, równanie jest sprzeczne. Nie ma wtedy żadnego rozwiązania, a zbiór rozwiązań zapisujemy jako $\varnothing$.

Nierówności liniowe mają znaki $<$, $>$, $\le$ lub $\ge$. Rozwiązuje się je podobnie jak równania: usuwa nawiasy, redukuje wyrazy podobne i przenosi składniki. Wynikiem równoważnej nierówności jest najczęściej przedział liczbowy.

Kluczowa różnica dotyczy mnożenia i dzielenia. Gdy mnożymy lub dzielimy obie strony przez liczbę dodatnią, znak pozostaje bez zmian. Gdy wykonujemy to działanie przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba odwrócić. Na przykład z $-2x\le-6$ po podzieleniu przez $-2$ wynika $x\ge3$.

Także w nierównościach może zniknąć niewiadoma. Jeśli po uproszczeniu otrzymamy zdanie prawdziwe, na przykład $3<8$ albo $0\le0$, nierówność jest tożsamościowa. Każda liczba rzeczywista ją spełnia, więc zbiorem rozwiązań jest $\mathbb{R}$.

Jeżeli otrzymamy zdanie fałszywe, takie jak $7<2$, nierówność jest sprzeczna i jej zbiorem rozwiązań jest $\varnothing$. Nie należy wtedy próbować dalej wyznaczać $x$, ponieważ niewiadoma została już skutecznie usunięta.

Częstym błędem jest uznawanie każdej nierówności za zadanie z jednym wynikiem. Nierówność może mieć cały przedział rozwiązań, wszystkie liczby rzeczywiste albo nie mieć żadnego rozwiązania.

W zadaniach szkolnych i maturalnych warto pracować według stałego schematu:

• Usuń nawiasy i wykonaj działania.
• Zredukuj wyrazy podobne po obu stronach.
• Przenieś wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, a liczby na drugą.
• Jeśli niewiadoma zniknie, sprawdź prawdziwość otrzymanego zdania.
• Zapisz zbiór rozwiązań jako liczbę, przedział, $\mathbb{R}$ albo $\varnothing$.

W równaniach można wykonać próbę przez podstawienie otrzymanej liczby. W przypadku równania tożsamościowego wystarczy zauważyć, że po uproszczeniu obie strony są takie same. W przypadku sprzeczności końcowy zapis liczbowy pokazuje, dlaczego żadna wartość $x$ nie może być rozwiązaniem.