Funkcja wykładnicza: wykres i zastosowania

Funkcja wykładnicza ma postać $f(x)=a^x$. Jej cechą rozpoznawczą jest to, że zmienna $x$ znajduje się w wykładniku, a nie w podstawie potęgi.

Aby wzór opisywał funkcję wykładniczą, podstawa musi spełniać warunki $a>0$ oraz $a\ne 1$. Podstawa ujemna nie pozwalałaby wyznaczyć wartości dla wszystkich argumentów rzeczywistych. Dla $a=0$ potęgowanie nie ma poprawnego sensu dla części wykładników, a dla $a=1$ otrzymalibyśmy funkcję stałą.

• Dziedzina każdej funkcji wykładniczej to $\mathbb{R}$.
• Zbiór wartości to $(0,\infty)$.
• Dla każdego $x$ zachodzi $a^x>0$.

Niezależnie od podstawy każdy wykres $y=a^x$ przechodzi przez punkt $(0,1)$, ponieważ $a^0=1$. Dodatkowo punkt $(1,a)$ należy do wykresu, gdyż $a^1=a$.

Wykres nie przyjmuje wartości równej zero. Może jednak zbliżać się do osi $OX$ coraz bardziej. Dlatego prosta $y=0$ jest asymptotą poziomą wykresu funkcji wykładniczej.

Dla podstawy większej od $1$ wykres przy bardzo małych argumentach zbliża się do osi $OX$, a następnie szybko rośnie. Dla podstawy z przedziału $(0,1)$ przebieg jest odwrotny: wykres maleje, ale nadal pozostaje nad osią $OX$.

O kierunku zmian decyduje podstawa potęgi. Jeżeli $a>1$, funkcja $f(x)=a^x$ jest rosnąca: większemu argumentowi odpowiada większa wartość. Przykładem jest $2^x$.

Jeśli $0<a<1$, funkcja jest malejąca. Przykładowo $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ zmniejsza się wraz ze wzrostem argumentu. Wynika to z tego, że kolejne mnożenie przez liczbę mniejszą od $1$ zmniejsza wynik.

Przy porównywaniu potęg o tej samej podstawie trzeba uwzględnić monotoniczność. Dla $a>1$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika $a^{x_1}<a^{x_2}$. Dla $0<a<1$ kierunek nierówności się odwraca.

Wykres podstawowej funkcji $y=a^x$ można przesuwać. Wzór $y=a^{x-b}$ oznacza przesunięcie wykresu o $b$ jednostek w prawo, a $y=a^{x+b}$ — o $b$ jednostek w lewo.

Dodanie liczby poza potęgą daje przesunięcie pionowe. Wykres $y=a^x+c$ jest przesunięty o $c$ jednostek w górę, gdy $c>0$, lub w dół, gdy $c<0$. Jego asymptota pozioma ma wtedy równanie $y=c$.

Trzeba odróżniać zapis $a^{x-b}$ od $a^x-b$. W pierwszym przypadku zmienia się argument i wykres przesuwa się poziomo. W drugim liczba jest odejmowana od wartości funkcji, więc przesunięcie jest pionowe.

Model wykładniczy stosujemy wtedy, gdy wielkość w każdym kolejnym okresie jest mnożona przez stały współczynnik wzrostu. Ogólny wzór ma postać $P(n)=P_0\cdot q^n$, gdzie $P_0$ to wartość początkowa, $n$ oznacza liczbę okresów, a $q>1$.

Jeżeli wielkość rośnie o $p\%$ w jednym okresie, współczynnik wynosi $q=1+\frac{p}{100}$. Nie należy dodawać co okres tej samej liczby — przy wzroście procentowym procent jest liczony od aktualnej wartości.

Typowe zastosowania to wzrost liczby bakterii, powiększanie kapitału na lokacie oraz rozwój populacji w uproszczonych modelach.

Jeżeli badana wielkość maleje o stały procent w każdym okresie, nadal używamy modelu $P(n)=P_0\cdot q^n$, lecz współczynnik spełnia warunek $0<q<1$. Przy spadku o $p\%$ pozostaje część $1-\frac{p}{100}$ wartości z poprzedniego okresu.

Tak opisuje się między innymi utratę wartości przedmiotu, zmniejszanie ilości substancji oraz procesy, w których co etap pozostaje stała część wcześniejszej ilości. Zanik wykładniczy odpowiada funkcji malejącej.

W procentie składanym kapitał po $n$ okresach wyraża wzór $K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$. Liczba $p$ jest stopą procentową na jeden okres kapitalizacji, dlatego okresy we wzorze muszą być z nią zgodne, na przykład lata dla oprocentowania rocznego.

W zadaniach praktycznych najpierw ustal wartość początkową, liczbę okresów oraz czynnik zmiany. Dopiero potem podstaw dane do modelu wykładniczego.