Funkcja logarytmiczna: wykres i zastosowania

Funkcja logarytmiczna ma postać $f(x)=\log_a x$. Jej podstawa $a$ musi spełniać warunki $a>0$ oraz $a\ne 1$. Logarytm określa wykładnik potęgi: zapis $\log_a x=y$ jest równoważny zapisowi $a^y=x$.

Argument logarytmu, czyli liczba stojąca po znaku logarytmu, musi być dodatni. Nie istnieje więc logarytm rzeczywisty z zera ani z liczby ujemnej. Na przykład $\log_2 8=3$, ponieważ $2^3=8$.

Dla funkcji $f(x)=\log_a x$ dziedziną jest przedział $D_f=(0,\infty)$, natomiast zbiorem wartości jest cały zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$. Wartości funkcji mogą być dodatnie, ujemne lub równe zeru.

Wykres zawsze przechodzi przez punkt $(1,0)$, ponieważ $\log_a 1=0$. Przechodzi też przez punkt $(a,1)$, gdyż $\log_a a=1$. Oś $Oy$, opisana równaniem $x=0$, jest asymptotą pionową wykresu: wykres może się do niej zbliżać, lecz nie może jej przeciąć.

Kształt wykresu zależy od wartości podstawy. Gdy $a>1$, funkcja $f(x)=\log_a x$ jest rosnąca. Gdy argument rośnie, rośnie także wartość logarytmu. Przykładem jest $\log_2 x$.

Jeżeli $0<a<1$, funkcja jest malejąca. Przykładem jest $\log_{\frac{1}{2}}x$. W obu przypadkach wykres przechodzi przez $(1,0)$ i ma asymptotę $x=0$, ale jego kierunek jest przeciwny.

Warto pamiętać, że znak wartości zależy od położenia argumentu względem $1$. Dla podstawy większej od $1$ i argumentów większych od $1$ logarytm jest dodatni, a dla argumentów z przedziału $(0,1)$ jest ujemny.

Funkcja logarytmiczna $y=\log_a x$ i funkcja wykładnicza $y=a^x$ są wzajemnie odwrotne. Oznacza to, że jedno działanie odwraca drugie: potęgowanie wyznacza wartość liczby, a logarytmowanie pozwala odzyskać wykładnik.

Wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej $y=x$. Z tego powodu dziedzina funkcji logarytmicznej jest zbiorem wartości funkcji wykładniczej, a jej zbiór wartości jest dziedziną funkcji wykładniczej.

Wykres $y=\log_a(x-p)$ powstaje przez przesunięcie wykresu podstawowego o $p$ jednostek w prawo. Jego asymptota zmienia się wtedy z $x=0$ na $x=p$. Z kolei dodanie liczby poza logarytmem, jak w $y=\log_a x+q$, przesuwa wykres o $q$ jednostek w górę.

W zadaniach rachunkowych stosuje się podstawowe wzory:

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
• $\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$
• $\log_a(x^k)=k\log_a x$

Warunkiem używania tych wzorów jest dodatniość argumentów logarytmów. Nie wolno na przykład rozdzielać logarytmu sumy: na ogół $\log_a(x+y)$ nie jest równe $\log_a x+\log_a y$.

Logarytmy są przydatne wtedy, gdy wielkości zmieniają się w bardzo szerokim zakresie. Skala pH opisuje kwasowość roztworów wzorem $\mathrm{pH}=-\log[H^+]$. Obniżenie pH o $1$ oznacza dziesięciokrotny wzrost stężenia jonów wodorowych.

Skala decybelowa służy między innymi do opisu natężenia dźwięku. Różnica $10\,\mathrm{dB}$ odpowiada dziesięciokrotnej zmianie natężenia. Logarytmy stosuje się też przy rozwiązywaniu problemów wzrostu wykładniczego, na przykład do wyznaczania czasu potrzebnego na osiągnięcie określonej wartości.

W praktyce warto najpierw zapisać sytuację w postaci potęgowej, a następnie użyć logarytmu, gdy niewiadomą jest wykładnik.