Matematyka

Ciągi rekurencyjne: wyrazy początkowe

Zestaw wyjaśnia, jak odczytywać i stosować definicje ciągów określonych rekurencyjnie. Nauczysz się obliczać kolejne wyrazy, rozróżniać wzór rekurencyjny od ogólnego oraz analizować proste ciągi arytmetyczne i geometryczne podane rekurencyjnie.

Szkoła średniauczy się 1 osoba10 fiszek16 pytań w 2 etapachnotatka

Podcast

Ładuję…

Quizy w tym zestawie

16 pytań w 2 etapach

Odblokujesz je po dodaniu zestawu.

Etap 1
6 fiszek · 8 pytań
Etap 2
4 fiszki · 8 pytań
Powtórka z całości
15 pytań ze wszystkich etapów, po ukończeniu etapów

Karty pracy

Ćwiczenia do wydruku na ten temat

Ciągi - arytmetyczny i geometrycznySzkoła średnia, klasa 3

Otwórz kartę pracy

Lekcje z kursów Odrabiamy

Obejrzyj albo posłuchaj o tym temacie

Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznegoWideo, 13 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznegoWideo, 13 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

Wzór rekurencyjny ciąguWideo, 12 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

1.Ciąg określony rekurencyjnie

Ciąg, w którym podaje się co najmniej jeden wyraz początkowy oraz regułę pozwalającą obliczyć następny wyraz na podstawie wyrazu lub wyrazów wcześniejszych.

2.Wyraz początkowy ciągu

Wyraz podany bezpośrednio w definicji rekurencyjnej, na przykład $a_1=4$ . Jest konieczny, aby można było rozpocząć obliczanie kolejnych wyrazów.

3.Wzór rekurencyjny

Zależność określająca wyraz ciągu przez wyrazy wcześniejsze, na przykład $a_{n+1}=a_n+3$ dla $n\geq 1$ .

4.Indeks wyrazu ciągu

Numer wskazujący położenie wyrazu w ciągu. Symbol $a_1$ oznacza pierwszy wyraz, $a_2$ drugi, a $a_n$ wyraz o numerze $n$ .

5.Obliczanie wyrazów z rekurencji

Należy zaczynać od podanego wyrazu początkowego i kolejno podstawiać otrzymane wartości do wzoru rekurencyjnego. Nie można zwykle obliczyć dalekiego wyrazu bez wyznaczenia wcześniejszych.

6.Ciąg arytmetyczny w postaci rekurencyjnej

Ciąg, w którym każdy następny wyraz otrzymuje się przez dodanie stałej różnicy $r$ : $a_{n+1}=a_n+r$ . Różnica kolejnych wyrazów jest stała.

7.Ciąg geometryczny w postaci rekurencyjnej

Ciąg, w którym każdy następny wyraz otrzymuje się przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz $q$ : $a_{n+1}=q\cdot a_n$ . Iloraz kolejnych wyrazów niezerowych jest stały.

8.Warunek $n\geq 1$ w rekurencji

Informuje, od jakich indeksów wolno stosować podaną regułę. Na przykład przy $a_{n+1}=a_n+2$ dla $n\geq 1$ można najpierw wyznaczyć $a_2$ z $a_1$ .

9.Wzór ogólny ciągu

Wzór pozwalający obliczyć dowolny wyraz bez wcześniejszego liczenia całego ciągu, na przykład $a_n=2n+1$ . Różni się od wzoru rekurencyjnego.

10.Rekurencja zależna od dwóch wyrazów

Reguła, w której nowy wyraz zależy od dwóch wcześniejszych, na przykład $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ . Taka definicja wymaga podania dwóch wyrazów początkowych.

Notatka

Na czym polega rekurencja?

Ciąg określony rekurencyjnie opisuje się etapami. Zamiast podawać od razu wzór na dowolny wyraz, wskazuje się wartość początkową i zasadę otrzymywania następnych wartości.

Typowy zapis ma postać: $a_1=c$ oraz $a_{n+1}=F(a_n)$ dla odpowiednich wartości $n$ . Symbol $a_1$ jest pierwszym wyrazem, a zapis $a_{n+1}$ oznacza wyraz następujący po $a_n$ .

Ważne

Sama reguła rekurencyjna nie wyznacza jednego konkretnego ciągu, jeśli nie podano potrzebnych wyrazów początkowych.

W rekurencji kolejne wartości wyznacza się po kolei. Jeżeli znamy $a_1$ , obliczamy $a_2$ , potem z niego $a_3$ i następne wyrazy.

Jak obliczać wyrazy początkowe?

Najpierw dokładnie odczytaj wyraz początkowy i wzór. Następnie podstawiaj kolejne wartości indeksu zgodnie z warunkiem podanym przy rekurencji.

Dla $a_1=4$ oraz $a_{n+1}=a_n+3$ mamy: $a_2=a_1+3=7$ , następnie $a_3=a_2+3=10$ . Każdy nowy wynik trzeba wykorzystać w następnym kroku.

Nie zastępuj automatycznie $a_n$ numerem wyrazu; $a_n$ oznacza jego wartość.
Zwracaj uwagę na znaki, zwłaszcza gdy reguła zawiera odejmowanie lub liczbę ujemną.
Sprawdź ograniczenie indeksu, na przykład $n\geq 1$ .

Przykład

Z warunków $a_1=-1$ oraz $a_{n+1}=a_n-2$ otrzymujemy kolejno $-1$ , $-3$ , $-5$ , $-7$ .

Ciąg arytmetyczny podany rekurencyjnie

Jeżeli od każdego wyrazu przechodzimy do następnego przez dodanie tej samej liczby, otrzymujemy ciąg arytmetyczny. Jego rekurencyjna postać to $a_{n+1}=a_n+r$ , gdzie $r$ jest różnicą ciągu.

Gdy $r>0$ , wyrazy rosną, a gdy $r<0$ , maleją. Dla $r=0$ ciąg jest stały. Na przykład zależność $a_{n+1}=a_n-5$ oznacza, że każdy kolejny wyraz jest o $5$ mniejszy od poprzedniego.

Z rekurencją ciągu arytmetycznego wiąże się wzór ogólny $a_n=a_1+(n-1)r$ . Wzór rekurencyjny służy do przechodzenia krok po kroku, natomiast wzór ogólny pozwala obliczyć wybrany wyraz bez wyznaczania wszystkich wcześniejszych.

Ciąg geometryczny podany rekurencyjnie

W ciągu geometrycznym każdy wyraz otrzymujemy przez mnożenie poprzedniego przez stałą liczbę. Rekurencję zapisujemy jako $a_{n+1}=q\cdot a_n$ , gdzie $q$ oznacza iloraz ciągu.

Dla $q=2$ kolejne wyrazy są podwajane, a dla $q=\frac{1}{2}$ dzielone przez $2$ . Liczba ujemna jako iloraz powoduje zmianę znaku kolejnych wyrazów. Przykładowo przy $a_1=3$ i $q=-2$ otrzymujemy $3$ , $-6$ , $12$ , $-24$ .

Zapamiętaj

W ciągu arytmetycznym dodajemy stałą różnicę $r$ , a w geometrycznym mnożymy przez stały iloraz $q$ .

Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ .

Rekurencje z dwoma wcześniejszymi wyrazami

Czasem nowy wyraz zależy nie od jednego, lecz od dwóch wcześniejszych. Przykładem jest zależność $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ . Aby rozpocząć obliczenia, trzeba wtedy znać dwa wyrazy początkowe, na przykład $a_1$ i $a_2$ .

Jeśli $a_1=1$ oraz $a_2=2$ , to: $a_3=2+1=3$ , $a_4=3+2=5$ , a $a_5=5+3=8$ . Nie wolno próbować obliczać $a_3$ , mając tylko jeden z tych dwóch pierwszych wyrazów.

W zadaniach maturalnych często należy wypisać kilka wyrazów, rozpoznać rodzaj ciągu albo zbadać, czy kolejne wartości rosną lub maleją. Najpewniejsza metoda to staranne zapisanie każdego kroku obliczeń.

Pobierz notatkę (PDF)

Sprawdzian do druku

Arkusz PDF z kluczem, punktacją i oceną

Sprawdzam sprawdzian…