Ciągi rekurencyjne: wyrazy początkowe

Ciąg określony rekurencyjnie opisuje się etapami. Zamiast podawać od razu wzór na dowolny wyraz, wskazuje się wartość początkową i zasadę otrzymywania następnych wartości.

Typowy zapis ma postać: $a_1=c$ oraz $a_{n+1}=F(a_n)$ dla odpowiednich wartości $n$. Symbol $a_1$ jest pierwszym wyrazem, a zapis $a_{n+1}$ oznacza wyraz następujący po $a_n$.

W rekurencji kolejne wartości wyznacza się po kolei. Jeżeli znamy $a_1$, obliczamy $a_2$, potem z niego $a_3$ i następne wyrazy.

Najpierw dokładnie odczytaj wyraz początkowy i wzór. Następnie podstawiaj kolejne wartości indeksu zgodnie z warunkiem podanym przy rekurencji.

Dla $a_1=4$ oraz $a_{n+1}=a_n+3$ mamy: $a_2=a_1+3=7$, następnie $a_3=a_2+3=10$. Każdy nowy wynik trzeba wykorzystać w następnym kroku.

• Nie zastępuj automatycznie $a_n$ numerem wyrazu; $a_n$ oznacza jego wartość.
• Zwracaj uwagę na znaki, zwłaszcza gdy reguła zawiera odejmowanie lub liczbę ujemną.
• Sprawdź ograniczenie indeksu, na przykład $n\geq 1$.

Jeżeli od każdego wyrazu przechodzimy do następnego przez dodanie tej samej liczby, otrzymujemy ciąg arytmetyczny. Jego rekurencyjna postać to $a_{n+1}=a_n+r$, gdzie $r$ jest różnicą ciągu.

Gdy $r>0$, wyrazy rosną, a gdy $r<0$, maleją. Dla $r=0$ ciąg jest stały. Na przykład zależność $a_{n+1}=a_n-5$ oznacza, że każdy kolejny wyraz jest o $5$ mniejszy od poprzedniego.

Z rekurencją ciągu arytmetycznego wiąże się wzór ogólny $a_n=a_1+(n-1)r$. Wzór rekurencyjny służy do przechodzenia krok po kroku, natomiast wzór ogólny pozwala obliczyć wybrany wyraz bez wyznaczania wszystkich wcześniejszych.

W ciągu geometrycznym każdy wyraz otrzymujemy przez mnożenie poprzedniego przez stałą liczbę. Rekurencję zapisujemy jako $a_{n+1}=q\cdot a_n$, gdzie $q$ oznacza iloraz ciągu.

Dla $q=2$ kolejne wyrazy są podwajane, a dla $q=\frac{1}{2}$ dzielone przez $2$. Liczba ujemna jako iloraz powoduje zmianę znaku kolejnych wyrazów. Przykładowo przy $a_1=3$ i $q=-2$ otrzymujemy $3$, $-6$, $12$, $-24$.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

Czasem nowy wyraz zależy nie od jednego, lecz od dwóch wcześniejszych. Przykładem jest zależność $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. Aby rozpocząć obliczenia, trzeba wtedy znać dwa wyrazy początkowe, na przykład $a_1$ i $a_2$.

Jeśli $a_1=1$ oraz $a_2=2$, to: $a_3=2+1=3$, $a_4=3+2=5$, a $a_5=5+3=8$. Nie wolno próbować obliczać $a_3$, mając tylko jeden z tych dwóch pierwszych wyrazów.

W zadaniach maturalnych często należy wypisać kilka wyrazów, rozpoznać rodzaj ciągu albo zbadać, czy kolejne wartości rosną lub maleją. Najpewniejsza metoda to staranne zapisanie każdego kroku obliczeń.