Funkcja kwadratowa: trzy postacie wzoru

Funkcja kwadratowa to funkcja opisana wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq0$. Jej wykresem w układzie współrzędnych jest parabola. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Najważniejszą rolę w kształcie wykresu odgrywa współczynnik $a$. Gdy $a>0$, ramiona paraboli są skierowane w górę; gdy $a<0$, są skierowane w dół. Im większa jest wartość bezwzględna $a$, tym parabola jest węższa.

Postać ogólna ma wzór $f(x)=ax^2+bx+c$. Współczynnik $c$ jest równy $f(0)$, dlatego wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,c)$.

Aby ustalić liczbę miejsc zerowych, obliczamy deltę: $\Delta=b^2-4ac$. Jeżeli $\Delta>0$, funkcja ma dwa różne miejsca zerowe. Jeżeli $\Delta=0$, ma jedno miejsce zerowe, nazywane też pierwiastkiem podwójnym. Gdy $\Delta<0$, nie ma miejsc zerowych, czyli parabola nie przecina osi $Ox$.

Jeśli $\Delta\geq0$, stosujemy wzory $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ oraz $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Postać kanoniczna ma wzór $f(x)=a(x-p)^2+q$. Jej największą zaletą jest to, że od razu odczytujemy wierzchołek paraboli: $W=(p,q)$. Oś symetrii paraboli ma równanie $x=p$.

W postaci ogólnej współrzędne wierzchołka obliczamy ze wzorów $p=\frac{-b}{2a}$ oraz $q=f(p)$. Można także skorzystać ze wzoru $q=\frac{-\Delta}{4a}$.

Jeśli $a>0$, liczba $q$ jest wartością najmniejszą funkcji. Jeśli $a<0$, liczba $q$ jest wartością największą. Wartość ekstremalna jest osiągana dla argumentu $x=p$.

Gdy funkcja ma dwa miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$, można ją zapisać w postaci iloczynowej: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Taka postać pozwala natychmiast odczytać punkty przecięcia paraboli z osią $Ox$: $(x_1,0)$ oraz $(x_2,0)$.

Jeżeli istnieje jedno miejsce zerowe $x_0$, wzór przyjmuje postać $f(x)=a(x-x_0)^2$. Parabola styka się wtedy z osią $Ox$ w punkcie $(x_0,0)$.

Oś symetrii paraboli z dwoma miejscami zerowymi przechodzi przez ich środek. Jej równanie ma postać $x=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Z postaci kanonicznej do ogólnej przechodzimy przez rozwinięcie kwadratu. Korzystamy z tożsamości $(x-p)^2=x^2-2px+p^2$, mnożymy przez $a$ i redukujemy wyrazy podobne.

Aby przejść z postaci ogólnej do kanonicznej, najwygodniej wyznaczyć wierzchołek: obliczyć $p=\frac{-b}{2a}$, następnie $q=f(p)$ i zapisać wzór $f(x)=a(x-p)^2+q$.

Postać iloczynową otrzymujemy po wyznaczeniu miejsc zerowych oraz zachowaniu współczynnika $a$. Gdy $\Delta<0$, postać iloczynowa z liczbami rzeczywistymi nie istnieje, ponieważ funkcja nie ma rzeczywistych miejsc zerowych.

W zadaniu maturalnym warto dobierać postać wzoru do informacji, której szukasz. Postać ogólna ułatwia obliczenie delty i odczytanie przecięcia z osią $Oy$. Postać kanoniczna jest najlepsza do wskazania wierzchołka, osi symetrii i wartości największej albo najmniejszej. Postać iloczynowa najszybciej pokazuje miejsca zerowe.

Przy szkicowaniu wykresu zaznacz wierzchołek, oś symetrii, kierunek ramion oraz — jeśli istnieją — miejsca zerowe i punkt $(0,c)$. Pamiętaj, że dla $a>0$ parabola jest ujemna między dwoma miejscami zerowymi, a dla $a<0$ jest dodatnia między nimi.