Ciąg określony wzorem ogólnym
Matematyka
Zestaw wyjaśnia, czym jest ciąg podany wzorem ogólnym i jak obliczać jego konkretne wyrazy. Nauczysz się poprawnie podstawiać numer wyrazu, uważać na kolejność działań oraz rozpoznawać zależności między numerem a wartością wyrazu.
1.Ciąg liczbowy
Uporządkowany zbiór liczb, w którym każdej dodatniej liczbie naturalnej przyporządkowany jest dokładnie jeden wyraz ciągu.
2.Wyraz ciągu
Liczba należąca do ciągu. Oznacza się ją zwykle literą z indeksem wskazującym jej numer, np. .
3.Wzór ogólny ciągu
Wzór określający wartość dowolnego wyrazu ciągu w zależności od jego numeru , np. .
4.Indeks
Numer wyrazu ciągu we wzorze . Zwykle przyjmuje kolejne dodatnie liczby naturalne: , , i dalej.
5.Obliczanie wyrazu z wzoru ogólnego
Aby obliczyć , należy we wzorze ogólnym zastąpić liczbą , a następnie wykonać działania zgodnie z ich kolejnością.
6.Kolejność działań
Po podstawieniu numeru wyrazu wykonuje się kolejno: działania w nawiasach, potęgowanie, mnożenie lub dzielenie, a na końcu dodawanie albo odejmowanie.
7.Ciąg rosnący
Ciąg, w którym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Samo obliczenie kilku wyrazów może sugerować wzrost, ale nie zawsze jest dowodem dla całego ciągu.
8.Ciąg malejący
Ciąg, w którym każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.
9.Wartość wyrazu a jego numer
Numer wyrazu, np. w zapisie , nie jest zwykle wartością wyrazu. Wartość otrzymuje się dopiero po podstawieniu do wzoru.
10.Dziedzina numerów ciągu
Zbiór dopuszczalnych numerów wyrazów. Najczęściej są to dodatnie liczby naturalne, ale wzór może obowiązywać od innego wskazanego numeru.
Notatka
Czym jest ciąg i wzór ogólny
Ciąg liczbowy to uporządkowany zestaw liczb. Każdy jego wyraz ma własny numer: pierwszy zapisujemy jako , drugi jako , a ogólny wyraz jako .
Wzór ogólny opisuje wartość wyrazu w zależności od jego numeru. Na przykład zapis mówi, jak wyznaczyć każdy wyraz ciągu: wystarczy w miejsce indeksu wpisać wybrany numer.
Zapamiętaj
Zapis oznacza piąty wyraz ciągu, a nie iloczyn liter i .
Najczęściej numer przyjmuje dodatnie liczby naturalne. Zawsze warto jednak sprawdzić w treści zadania, od jakiego numeru zdefiniowano ciąg.
Jak obliczać konkretne wyrazy
Aby obliczyć wyraz o numerze , we wzorze ogólnym podstaw za liczbę . Następnie wykonaj zwykłe obliczenia, zachowując kolejność działań.
Dla wzoru wyraz obliczamy przez podstawienie . Otrzymujemy .
Jeżeli we wzorze występują nawiasy, muszą zostać zachowane po podstawieniu. Dla mamy , a nie .
Ważne
Numer wyrazu podstawia się za każde występujące we wzorze , również wtedy, gdy znajduje się ono w nawiasie, potędze lub mianowniku.
Potęgi, znaki i ułamki we wzorach
Szczególnej uwagi wymagają wzory zawierające potęgi i liczby ujemne. W ciągu dla najpierw liczymy , a dopiero potem odejmujemy . Wynik to .
Gdy podstawiana liczba może być ujemna albo gdy we wzorze występuje znak minus przed potęgą, pomocne są nawiasy. Przykładowo w znak wyrazu zależy od parzystości numeru: dla parzystego jest dodatni, a dla nieparzystego ujemny.
We wzorze takim jak trzeba też pamiętać, że nie wolno dzielić przez zero. Jeżeli numery ciągu zaczynają się od , problem nie występuje.
Przykład
Dla mamy , natomiast .
Odczytywanie informacji z obliczonych wyrazów
Po wyznaczeniu kilku początkowych wartości można zapisać początek ciągu i sprawdzić jego charakter. Dla wzoru otrzymujemy kolejne liczby , , , , więc wartości rosną.
Nie każdy ciąg zmienia się jednak stale w jednym kierunku. Ciąg ma wyrazy dodatnie i ujemne na przemian, dlatego nie jest ani rosnący, ani malejący.
W zadaniach maturalnych często trzeba nie tylko obliczyć wskazany wyraz, lecz także ustalić, dla którego numeru wyraz przyjmuje daną wartość. Wtedy zapisuje się równanie wynikające ze wzoru ogólnego. Na przykład warunek dla wzoru prowadzi do równania , z którego wynika .
Sprawdzenie wyniku polega na ponownym podstawieniu otrzymanego numeru do wzoru. Pozwala to szybko wykryć błąd rachunkowy.
Quizy w tym zestawie
16 pytań w 2 etapach — odblokujesz je po dodaniu zestawu