Ciąg określony wzorem ogólnym

Ciąg liczbowy to uporządkowany zestaw liczb. Każdy jego wyraz ma własny numer: pierwszy zapisujemy jako $a_1$, drugi jako $a_2$, a ogólny wyraz jako $a_n$.

Wzór ogólny opisuje wartość wyrazu w zależności od jego numeru. Na przykład zapis $a_n=3n-2$ mówi, jak wyznaczyć każdy wyraz ciągu: wystarczy w miejsce indeksu $n$ wpisać wybrany numer.

Najczęściej numer $n$ przyjmuje dodatnie liczby naturalne. Zawsze warto jednak sprawdzić w treści zadania, od jakiego numeru zdefiniowano ciąg.

Aby obliczyć wyraz o numerze $k$, we wzorze ogólnym podstaw za $n$ liczbę $k$. Następnie wykonaj zwykłe obliczenia, zachowując kolejność działań.

Dla wzoru $a_n=4n+1$ wyraz $a_3$ obliczamy przez podstawienie $n=3$. Otrzymujemy $a_3=4\cdot 3+1=13$.

Jeżeli we wzorze występują nawiasy, muszą zostać zachowane po podstawieniu. Dla $a_n=2(n+3)$ mamy $a_4=2(4+3)=14$, a nie $2\cdot 4+3$.

Szczególnej uwagi wymagają wzory zawierające potęgi i liczby ujemne. W ciągu $a_n=n^2-1$ dla $n=4$ najpierw liczymy $4^2$, a dopiero potem odejmujemy $1$. Wynik to $15$.

Gdy podstawiana liczba może być ujemna albo gdy we wzorze występuje znak minus przed potęgą, pomocne są nawiasy. Przykładowo w $a_n=(-1)^n\cdot n$ znak wyrazu zależy od parzystości numeru: dla parzystego $n$ jest dodatni, a dla nieparzystego ujemny.

We wzorze takim jak $a_n=12/n$ trzeba też pamiętać, że nie wolno dzielić przez zero. Jeżeli numery ciągu zaczynają się od $1$, problem nie występuje.

Po wyznaczeniu kilku początkowych wartości można zapisać początek ciągu i sprawdzić jego charakter. Dla wzoru $a_n=2n-1$ otrzymujemy kolejne liczby $1$, $3$, $5$, $7$, więc wartości rosną.

Nie każdy ciąg zmienia się jednak stale w jednym kierunku. Ciąg $a_n=(-1)^n\cdot n$ ma wyrazy dodatnie i ujemne na przemian, dlatego nie jest ani rosnący, ani malejący.

W zadaniach maturalnych często trzeba nie tylko obliczyć wskazany wyraz, lecz także ustalić, dla którego numeru wyraz przyjmuje daną wartość. Wtedy zapisuje się równanie wynikające ze wzoru ogólnego. Na przykład warunek $a_n=14$ dla wzoru $a_n=3n+2$ prowadzi do równania $3n+2=14$, z którego wynika $n=4$.

Sprawdzenie wyniku polega na ponownym podstawieniu otrzymanego numeru do wzoru. Pozwala to szybko wykryć błąd rachunkowy.