Parabola i oś symetrii funkcji kwadratowej

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję opisaną wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\ne0$. Jej wykresem jest parabola — krzywa mająca jeden szczególny punkt, czyli wierzchołek, oraz prostą będącą osią symetrii.

Najważniejszy dla ogólnego wyglądu wykresu jest współczynnik $a$. Gdy $a>0$, ramiona paraboli są skierowane w górę. Gdy $a<0$, ramiona są skierowane w dół. Im większa jest wartość $|a|$, tym parabola jest węższa; gdy $0<|a|<1$, staje się szersza.

Każda parabola jest symetryczna względem pionowej prostej nazywanej osią symetrii. Przechodzi ona przez wierzchołek paraboli. Punkty wykresu po obu stronach osi, położone w tej samej odległości od niej, mają tę samą wysokość.

W postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$ współrzędną poziomą wierzchołka, a zarazem równanie osi symetrii, wyznaczamy ze wzoru $x=-\frac{b}{2a}$. Następnie obliczamy drugą współrzędną wierzchołka, podstawiając otrzymaną wartość argumentu do wzoru funkcji.

Jeśli $a>0$, wierzchołek wskazuje wartość najmniejszą funkcji. Jeśli $a<0$, wskazuje jej wartość największą. W zadaniach maturalnych trzeba umieć odczytać z wykresu współrzędne wierzchołka, równanie osi oraz przedziały, w których funkcja rośnie i maleje.

Postać ogólna ma postać $f(x)=ax^2+bx+c$. Jest przydatna między innymi dlatego, że od razu pokazuje punkt przecięcia wykresu z osią $OY$: dla $x=0$ otrzymujemy $f(0)=c$, więc punkt ma współrzędne $(0,c)$.

Postać kanoniczna to $f(x)=a(x-p)^2+q$. Jest najwygodniejsza przy szkicowaniu, ponieważ od razu odczytujemy wierzchołek $W=(p,q)$ oraz oś symetrii $x=p$.

Postać iloczynowa ma wzór $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Występuje wtedy, gdy funkcja ma dwa miejsca zerowe. Liczby $x_1$ i $x_2$ są argumentami punktów przecięcia paraboli z osią $OX$, a oś symetrii przebiega dokładnie między nimi: $x=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Miejscami zerowymi nazywamy takie argumenty, dla których $f(x)=0$. Geometrycznie są to punkty przecięcia wykresu z osią $OX$. Ich liczbę dla funkcji w postaci ogólnej określa wyróżnik $\Delta=b^2-4ac$.

• Gdy $\Delta>0$, parabola ma dwa różne miejsca zerowe.
• Gdy $\Delta=0$, parabola ma jedno miejsce zerowe; jej wierzchołek leży na osi $OX$.
• Gdy $\Delta<0$, parabola nie ma miejsc zerowych i nie przecina osi $OX$.

Znajomość miejsc zerowych pomaga szybko narysować wykres. Jeżeli są dwa, najpierw zaznacz je na osi $OX$, wyznacz ich środek jako oś symetrii, a następnie uwzględnij kierunek ramion wynikający ze znaku $a$.

Podczas szkicowania wykresu warto kolejno ustalić: kierunek ramion, wierzchołek, oś symetrii, miejsca zerowe oraz punkt przecięcia z osią $OY$. Nie każdy z tych elementów musi być liczony tą samą metodą — wybór zależy od postaci wzoru.

Dla paraboli skierowanej w górę funkcja maleje po lewej stronie osi symetrii i rośnie po prawej stronie. Dla paraboli skierowanej w dół sytuacja jest odwrotna: funkcja rośnie do wierzchołka, a potem maleje.

W zadaniach dotyczących wartości największej lub najmniejszej na przedziale domkniętym należy sprawdzić wartość funkcji w końcach przedziału oraz — jeśli należy do niego — w wierzchołku.