Postać kanoniczna funkcji kwadratowej i wierzchołek paraboli

Funkcję kwadratową zapisuje się w postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$. Jej wykresem jest parabola. W praktyce bardzo użyteczna jest postać kanoniczna, ponieważ od razu pokazuje położenie najważniejszego punktu wykresu.

Postać kanoniczna ma wzór $f(x)=a(x-p)^2+q$. Liczby $a$, $p$ i $q$ pełnią różne funkcje: $a$ decyduje o kształcie i zwrocie ramion, a liczby $p$ i $q$ określają położenie wierzchołka.

Wierzchołek jest punktem, w którym parabola osiąga wartość najmniejszą albo największą. Dla postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ jest to punkt $W=(p,q)$. Przechodzi przez niego oś symetrii paraboli o równaniu $x=p$.

Trzeba uważnie odczytywać znak w nawiasie. Zapis $(x-5)^2$ oznacza $p=5$, natomiast $(x+5)^2$ należy rozumieć jako $(x-(-5))^2$, czyli $p=-5$. Liczba stojąca poza nawiasem jest bezpośrednio drugą współrzędną wierzchołka.

Znak współczynnika $a$ wskazuje zwrot ramion paraboli. Jeżeli $a>0$, ramiona są skierowane w górę, a wierzchołek wyznacza wartość najmniejszą funkcji. Jeżeli $a<0$, ramiona są skierowane w dół, a wierzchołek wyznacza wartość największą.

Wartość bezwzględna $|a|$ wpływa na szerokość wykresu. Gdy $|a|>1$, parabola jest węższa niż wykres $y=x^2$. Gdy $0<|a|<1$, jest szersza. Zmiana znaku $a$ odbija parabolę względem osi $x$, natomiast zmiana wartości $p$ i $q$ jedynie przesuwa wykres.

Gdy funkcja jest dana w postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$, współrzędne wierzchołka można obliczyć ze wzorów $p=-\frac{b}{2a}$ oraz $q=f(p)$. Po wyznaczeniu tych liczb zapisujemy funkcję jako $f(x)=a(x-p)^2+q$.

Można także stosować uzupełnianie do kwadratu. Metoda opiera się na wzorze $(x-r)^2=x^2-2rx+r^2$. Na przykład $x^2-6x+5=(x-3)^2-4$. Dzięki temu od razu widać, że wierzchołek tej paraboli to $W=(3,-4)$.

Drugą współrzędną wierzchołka da się również obliczyć ze wzoru $q=-\frac{\Delta}{4a}$, gdzie $\Delta=b^2-4ac$. W zadaniach bezpieczne jest jednak podstawienie obliczonego $p$ do wzoru funkcji.

Punktem wyjścia jest parabola $y=x^2$ z wierzchołkiem $(0,0)$. Wykres $y=(x-p)^2+q$ powstaje przez przesunięcie jej o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie. Gdy $p>0$, przesunięcie jest w prawo, a gdy $p<0$ — w lewo. Gdy $q>0$, wykres przesuwa się w górę, zaś gdy $q<0$ — w dół.

W zadaniach maturalnych postać kanoniczna pomaga szybko ustalić wartość największą lub najmniejszą, oś symetrii i argument, dla którego ekstremum jest osiągane. Jest też przydatna w zadaniach optymalizacyjnych, gdy wielkość zależna od zmiennej ma postać funkcji kwadratowej.