Matematyka

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej i wierzchołek paraboli

Zestaw wyjaśnia postać kanoniczną funkcji kwadratowej oraz sposób odczytywania i wyznaczania wierzchołka paraboli. Zawiera przekształcanie postaci ogólnej, analizę roli współczynników oraz zadania typowe dla liceum i matury.

Szkoła średnia12 fiszek16 pytań w 2 etapachnotatka

Podcast

Ładuję…

Quizy w tym zestawie

16 pytań w 2 etapach

Odblokujesz je po dodaniu zestawu.

Etap 1
9 fiszek · 8 pytań
Etap 2
3 fiszki · 8 pytań
Powtórka z całości
15 pytań ze wszystkich etapów, po ukończeniu etapów

Karty pracy

Ćwiczenia do wydruku na ten temat

Funkcja kwadratowa - postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaSzkoła średnia, klasy 1-2

Otwórz kartę pracy

Lekcje z kursów Odrabiamy

Obejrzyj albo posłuchaj o tym temacie

Wierzchołek i postać kanoniczna funkcji kwadratowejWideo, 14 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

1.Funkcja kwadratowa

Funkcja określona wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$ , gdzie $a\ne 0$ . Jej wykresem jest parabola.

2.Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać $f(x)=a(x-p)^2+q$ , gdzie $a\ne 0$ . Umożliwia bezpośrednie odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli.

3.Wierzchołek paraboli

Punkt $W=(p,q)$ dla funkcji zapisanej w postaci $f(x)=a(x-p)^2+q$ . Jest punktem minimum, gdy $a>0$ , albo maksimum, gdy $a<0$ .

4.Oś symetrii paraboli

Prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek paraboli. Dla postaci kanonicznej ma równanie $x=p$ .

5.Współczynnik $a$ w postaci kanonicznej

Liczba $a$ określa kierunek ramion i ich „szerokość”. Gdy $a>0$ , ramiona są skierowane w górę, a gdy $a<0$ - w dół. Im większe $|a|$ , tym parabola jest węższa.

6.Współczynnik $p$

W wyrażeniu $a(x-p)^2+q$ liczba $p$ jest pierwszą współrzędną wierzchołka i wyznacza przesunięcie wykresu w poziomie.

7.Współczynnik $q$

W wyrażeniu $a(x-p)^2+q$ liczba $q$ jest drugą współrzędną wierzchołka i określa przesunięcie wykresu w pionie.

8.Współrzędna $p$ wierzchołka z postaci ogólnej

Dla $f(x)=ax^2+bx+c$ pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi $p=-\frac{b}{2a}$ .

9.Współrzędna $q$ wierzchołka

Drugą współrzędną wierzchołka oblicza się ze wzoru $q=f(p)$ . Można też użyć wzoru $q=-\frac{\Delta}{4a}$ , gdzie $\Delta=b^2-4ac$ .

10.Uzupełnianie do kwadratu

Metoda przekształcania postaci ogólnej do kanonicznej przez utworzenie wzoru typu $(x-r)^2$ . Korzysta się przy tym ze wzoru $(x-r)^2=x^2-2rx+r^2$ .

11.Wartość najmniejsza funkcji kwadratowej

Jeśli $a>0$ , najmniejsza wartość funkcji na zbiorze liczb rzeczywistych wynosi $q$ i jest osiągana dla $x=p$ .

12.Wartość największa funkcji kwadratowej

Jeśli $a<0$ , największa wartość funkcji na zbiorze liczb rzeczywistych wynosi $q$ i jest osiągana dla $x=p$ .

Notatka

Funkcja kwadratowa i parabola

Funkcję kwadratową zapisuje się w postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$ , gdzie $a\ne 0$ . Jej wykresem jest parabola. W praktyce bardzo użyteczna jest postać kanoniczna, ponieważ od razu pokazuje położenie najważniejszego punktu wykresu.

Postać kanoniczna ma wzór $f(x)=a(x-p)^2+q$ . Liczby $a$ , $p$ i $q$ pełnią różne funkcje: $a$ decyduje o kształcie i zwrocie ramion, a liczby $p$ i $q$ określają położenie wierzchołka.

Zapamiętaj

Dla funkcji $f(x)=a(x-p)^2+q$ wierzchołek paraboli ma współrzędne $W=(p,q)$ .

Wierzchołek i oś symetrii

Wierzchołek jest punktem, w którym parabola osiąga wartość najmniejszą albo największą. Dla postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ jest to punkt $W=(p,q)$ . Przechodzi przez niego oś symetrii paraboli o równaniu $x=p$ .

Trzeba uważnie odczytywać znak w nawiasie. Zapis $(x-5)^2$ oznacza $p=5$ , natomiast $(x+5)^2$ należy rozumieć jako $(x-(-5))^2$ , czyli $p=-5$ . Liczba dodana za nawiasem (czyli $q$ ) jest bezpośrednio drugą współrzędną wierzchołka.

Przykład

Dla $f(x)=-2(x+3)^2+4$ otrzymujemy $W=(-3{,}4)$ oraz oś symetrii $x=-3$ .

Znaczenie współczynnika $a$

Znak współczynnika $a$ wskazuje zwrot ramion paraboli. Jeżeli $a>0$ , ramiona są skierowane w górę, a wierzchołek wyznacza wartość najmniejszą funkcji. Jeżeli $a<0$ , ramiona są skierowane w dół, a wierzchołek wyznacza wartość największą.

Wartość bezwzględna $|a|$ wpływa na szerokość wykresu. Gdy $|a|>1$ , parabola jest węższa niż wykres $y=x^2$ . Gdy $0<|a|<1$ , jest szersza. Zmiana znaku $a$ odbija parabolę względem poziomej prostej $y=q$ przechodzącej przez wierzchołek (dla $y=ax^2$ jest to oś $x$ ), natomiast zmiana wartości $p$ i $q$ jedynie przesuwa wykres.

Ważne

Wartość $q$ jest minimum tylko wtedy, gdy $a>0$ ; przy $a<0$ jest maksimum funkcji.

Przejście z postaci ogólnej do kanonicznej

Gdy funkcja jest dana w postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$ , współrzędne wierzchołka można obliczyć ze wzorów $p=-\frac{b}{2a}$ oraz $q=f(p)$ . Po wyznaczeniu tych liczb zapisujemy funkcję jako $f(x)=a(x-p)^2+q$ .

Można także stosować uzupełnianie do kwadratu. Metoda opiera się na wzorze $(x-r)^2=x^2-2rx+r^2$ . Na przykład $x^2-6x+5=(x-3)^2-4$ . Dzięki temu od razu widać, że wierzchołek tej paraboli to $W=(3,-4)$ .

Drugą współrzędną wierzchołka da się również obliczyć ze wzoru $q=-\frac{\Delta}{4a}$ , gdzie $\Delta=b^2-4ac$ . W zadaniach bezpieczne jest jednak podstawienie obliczonego $p$ do wzoru funkcji.

Przesunięcia wykresu i zastosowania

Punktem wyjścia jest parabola $y=x^2$ z wierzchołkiem $(0,0)$ . Wykres $y=(x-p)^2+q$ powstaje przez przesunięcie jej o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie. Gdy $p>0$ , przesunięcie jest w prawo, a gdy $p<0$ - w lewo. Gdy $q>0$ , wykres przesuwa się w górę, zaś gdy $q<0$ - w dół.

W zadaniach maturalnych postać kanoniczna pomaga szybko ustalić wartość największą lub najmniejszą, oś symetrii i argument, dla którego ekstremum jest osiągane. Jest też przydatna w zadaniach optymalizacyjnych, gdy wielkość zależna od zmiennej ma postać funkcji kwadratowej.

Zapamiętaj

Dla $a>0$ zbiorem wartości funkcji jest $[q,\infty)$ , a dla $a<0$ jest $(-\infty,q]$ .