Potęgi o wykładnikach całkowitych i wymiernych

Potęga ma postać $a^n$, gdzie $a$ jest podstawą potęgi, a $n$ jest wykładnikiem. Gdy $n$ jest dodatnią liczbą całkowitą, zapis oznacza wielokrotne mnożenie podstawy przez siebie: $a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$.

Dla każdej liczby $a\ne0$ obowiązuje potęga zerowa: $a^0=1$. Nie należy przyjmować, że $0^0=1$; takie wyrażenie nie jest określone w tym zakresie.

Wykładnik ujemny nie oznacza, że wynik ma być ujemny. Dla $a\ne0$ zachodzi $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Na przykład $2^{-3}=\frac{1}{8}$, a $(-2)^{-3}=-\frac{1}{8}$.

Prawa działań wolno stosować tylko wtedy, gdy ich warunki są spełnione. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$. Przy dzieleniu takich potęg, dla $a\ne0$, wykładniki odejmujemy: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

Jeżeli potęga jest podnoszona do kolejnej potęgi, wykładniki mnożymy: $(a^m)^n=a^{mn}$. Z kolei potęga iloczynu i ilorazu ma postać $(ab)^n=a^n b^n$ oraz $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$, przy czym mianownik nie może być zerowy.

Wykładnik wymierny łączy potęgowanie z pierwiastkowaniem. Dla dodatniej liczby $a$, liczby naturalnej $n$ oraz liczby całkowitej $m$ zachodzi $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$. Można też najpierw obliczyć pierwiastek, a potem podnieść wynik do potęgi: $a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m$.

Mianownik ułamka w wykładniku wskazuje stopień pierwiastka, a licznik — potęgę. Na przykład $64^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{64})^2=4^2=16$. Szczególnym przypadkiem jest $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.

Dla wykładnika ujemnego wymiernego najpierw korzystamy z odwrotności: $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$. Warunek $a>0$ zapewnia, że wszystkie takie potęgi wymierne są poprawnie określone w liczbach rzeczywistych.

W zadaniach trzeba kontrolować, czy dane wyrażenie ma sens w zbiorze liczb rzeczywistych. Pierwiastek parzystego stopnia nie może być wyciągany z liczby ujemnej, dlatego np. $(-16)^{\frac{1}{2}}$ nie jest liczbą rzeczywistą. Natomiast pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje: $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Podstawa równa zeru wymaga ostrożności. Wyrażenie $0^n$ dla dodatniego $n$ jest równe $0$, lecz $0^0$ jest nieokreślone. Nie można także zapisywać $0^{-n}$, ponieważ prowadziłoby to do dzielenia przez zero.

Najpierw rozpoznaj rodzaj działania: iloczyn, iloraz, potęga potęgi albo potęga iloczynu. Dopiero potem wybierz właściwy wzór. W iloczynie i ilorazie wykładniki można łączyć wyłącznie wtedy, gdy podstawy są identyczne.

W wyrażeniach z wykładnikiem wymiernym wygodnie jest rozłożyć liczbę na znane potęgi. Przykładowo $32^{\frac{3}{5}}=(2^5)^{\frac{3}{5}}=2^3=8$. Przy liczbach ujemnych sprawdź przed obliczeniem, czy mianownik wykładnika odpowiada pierwiastkowi dopuszczalnemu w liczbach rzeczywistych.

Na maturze częstym błędem jest pominięcie nawiasu. Wyrażenie $-2^4$ oznacza $-(2^4)=-16$, natomiast $(-2)^4=16$. Nawias decyduje, czy znak minus należy do podstawy potęgi.