Funkcja: dziedzina, zbiór wartości i opisy

Funkcja jest jednoznacznym przyporządkowaniem: każdemu elementowi ustalonego zbioru argumentów przypisuje dokładnie jedną wartość. Argument najczęściej oznaczamy przez $x$, a wartość funkcji przez $f(x)$.

Zapis $f(2)=7$ czytamy: „wartość funkcji $f$ dla argumentu $2$ wynosi $7$”. Ten zapis oznacza zarazem, że liczba $2$ należy do dziedziny, a liczba $7$ należy do zbioru wartości.

Różne argumenty mogą dawać tę samą wartość. Na przykład dla $f(x)=x^2$ zachodzi $f(-2)=f(2)=4$. Niedopuszczalna jest natomiast sytuacja, w której jeden argument ma dwie różne wartości.

Dziedzina funkcji $D_f$ to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Dziedzina może być podana wprost w treści zadania, wynikać z tabeli lub wykresu albo wymagać ustalenia na podstawie wzoru.

Jeżeli podano wzór, ale nie podano dziedziny, zwykle wyznacza się jego naturalną dziedzinę. Szukamy wtedy wszystkich liczb rzeczywistych, dla których działania we wzorze są wykonalne.

• W mianowniku nie może wystąpić zero.
• Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne.
• Wielomiany, na przykład $x^2-3x+1$, są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Zbiór wartości $W_f$ obejmuje wszystkie wartości, które funkcja rzeczywiście przyjmuje dla argumentów należących do dziedziny. Nie należy go mylić z dziedziną: dziedzina odpowiada na pytanie „jakie argumenty wolno wstawić?”, a zbiór wartości na pytanie „jakie wyniki można otrzymać?”.

Dla funkcji podanej tabelą zbiór wartości tworzą elementy z wiersza wartości, bez powtarzania tych samych liczb. Dla funkcji przedstawionej wykresem odczytujemy wszystkie współrzędne pionowe $y$ punktów wykresu.

Przy analizie wzoru trzeba uwzględnić dziedzinę. Funkcja $f(x)=x^2$ określona dla wszystkich liczb rzeczywistych ma zbiór wartości $[0,\infty)$, lecz po ograniczeniu dziedziny do $[-1,2]$ jej zbiór wartości wynosi $[0,4]$.

Funkcję można przedstawić na kilka równoważnych sposobów. Każdy z nich może uwypuklać inne informacje.

• Opis słowny określa regułę przyporządkowania, na przykład: każdej liczbie przyporządkowujemy jej podwojoną wartość.
• Wzór zapisuje regułę symbolicznie, na przykład $f(x)=2x$.
• Tabela podaje wybrane argumenty i odpowiadające im wartości.
• Wykres przedstawia punkty o współrzędnych $(x,f(x))$ w układzie współrzędnych.
• Diagram strzałkowy pokazuje elementy dziedziny, zbioru wartości oraz strzałki oznaczające przyporządkowanie.

Ten sam obiekt można często zapisać kilkoma sposobami. Ze wzoru łatwo obliczać wartości, z tabeli wygodnie odczytywać dane dyskretne, a z wykresu można szybko ocenić dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe.

Na wykresie dziedzinę odczytujemy z osi poziomej: bierzemy wszystkie wartości $x$, dla których wykres ma punkt. Zbiór wartości odczytujemy z osi pionowej: bierzemy wszystkie wartości $y$ osiągane przez wykres.

Punkt $(a,b)$ należący do wykresu oznacza, że $f(a)=b$. Punkt na osi $x$ ma drugą współrzędną równą $0$, dlatego odpowiada miejscu zerowemu funkcji.

Aby sprawdzić, czy rysunek może być wykresem funkcji, stosuje się test prostej pionowej. Każda prosta pionowa może przeciąć wykres co najwyżej w jednym punkcie. Gdy przecina go dwa razy, temu samemu argumentowi odpowiadałyby dwie wartości.

Czasem reguła funkcji zależy od tego, do jakiej części dziedziny należy argument. Wtedy podaje się różne wzory na różnych przedziałach. Przy obliczaniu wartości najpierw wybieramy warunek spełniony przez argument, a dopiero potem stosujemy właściwy wzór.

Na przykład $f(x)=x+2$ dla $x<1$ oraz $f(x)=x^2$ dla $x\geq1$. Dla argumentu $-1$ używamy wzoru $x+2$, więc otrzymujemy $f(-1)=1$. Dla argumentu $2$ stosujemy wzór $x^2$, a zatem $f(2)=4$.

Warto zwracać uwagę na znaki nierówności przy granicach przedziałów. Jeżeli jeden wzór obowiązuje dla $x<1$, a drugi dla $x\geq1$, argument $1$ należy do drugiego przypadku. Warunki powinny razem obejmować deklarowaną dziedzinę i nie mogą przypisywać temu samemu argumentowi sprzecznych wartości.