Funkcja liniowa i znaczenie współczynników

Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Jej wykresem jest prosta, dlatego do narysowania wykresu wystarczą dwa punkty należące do tej prostej.

Wartościami współczynników opisujemy najważniejsze cechy wykresu. Współczynnik kierunkowy $a$ decyduje o nachyleniu prostej, a wyraz wolny $b$ określa jej położenie względem osi $OY$.

Dziedziną każdej funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Jeżeli $a\ne0$, także zbiór wartości jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

Liczba $a$ stojąca przy $x$ informuje, jak zmienia się wartość funkcji, gdy argument zwiększa się o $1$. Gdy $a=3$, zwiększenie argumentu o $1$ powoduje wzrost wartości funkcji o $3$. Gdy $a=-2$, taki sam wzrost argumentu powoduje spadek wartości o $2$.

• Gdy $a>0$, funkcja jest rosnąca.
• Gdy $a<0$, funkcja jest malejąca.
• Gdy $a=0$, funkcja jest stała i ma postać $f(x)=b$.

Im większa wartość bezwzględna współczynnika $a$, tym bardziej stroma jest prosta. Znak współczynnika wskazuje natomiast, czy wykres wznosi się, czy opada podczas przesuwania się w prawo.

Liczba $b$ jest wartością funkcji dla argumentu $0$, ponieważ $f(0)=a\cdot0+b=b$. Zatem wyraz wolny wyznacza punkt przecięcia z osią $OY$. Na przykład funkcja $f(x)=2x-6$ przecina tę oś w punkcie $(0,-6)$.

Miejsce zerowe to argument, dla którego wykres przecina oś $OX$, czyli wartość funkcji jest równa $0$. Dla funkcji o $a\ne0$ rozwiązujemy równanie $ax+b=0$, skąd otrzymujemy $x=-\frac{b}{a}$.

Jeśli $a=0$ i $b\ne0$, funkcja stała nie ma miejsca zerowego. Jeżeli $a=0$ oraz $b=0$, otrzymujemy funkcję zerową: każdy argument jest jej miejscem zerowym.

Aby wyznaczyć wzór funkcji liniowej, trzeba ustalić współczynniki $a$ i $b$. Jeżeli znany jest współczynnik kierunkowy oraz punkt $(x_0,y_0)$ należący do wykresu, podstawiamy jego współrzędne do równania $y=ax+b$ i obliczamy $b$.

Gdy znane są dwa punkty $(x_1,y_1)$ oraz $(x_2,y_2)$, przy czym $x_1\ne x_2$, najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy ze wzoru $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Potem podstawiamy dane jednego z punktów do wzoru $y=ax+b$.

W zadaniach praktycznych $a$ zwykle oznacza tempo zmiany, np. cenę za jednostkę, szybkość wzrostu kosztu lub przyrost temperatury. Wyraz wolny $b$ oznacza wartość początkową, np. opłatę stałą.

Dla prostych zapisanych w postaci kierunkowej $y=a_1x+b_1$ oraz $y=a_2x+b_2$ najważniejsze jest porównanie współczynników kierunkowych.

• Gdy $a_1\ne a_2$, proste mają różne nachylenia i przecinają się w jednym punkcie.
• Gdy $a_1=a_2$ oraz $b_1\ne b_2$, proste są równoległe.
• Gdy $a_1=a_2$ oraz $b_1=b_2$, równania opisują tę samą prostą.

Punkt przecięcia dwóch prostych można wyznaczyć, rozwiązując układ ich równań. W praktyce przyrównuje się prawe strony równań, ponieważ w punkcie wspólnym obie funkcje mają tę samą wartość $y$.