÷×

Działania na wielomianach

Matematyka

Zestaw wyjaśnia, jak rozpoznawać wyrazy podobne oraz poprawnie dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany. Zawiera zasady usuwania nawiasów, stosowania wzorów skróconego mnożenia i typowe przykłady maturalne.

12 fiszek24 pytań · 3 etapynotatkaSzkoła średnia

Pobierz test do druku

1.Wielomian

Wyrażenie algebraiczne będące sumą jednomianów o nieujemnych całkowitych wykładnikach zmiennej, np. $W(x)=3x^2-2x+5$ .

2.Jednomian

Iloczyn liczby i potęg zmiennych o nieujemnych całkowitych wykładnikach, np. $-4x^3$ lub $7ab^2$ .

3.Wyrazy podobne

Jednomiany mające identyczną część literową, czyli te same zmienne podniesione do tych samych potęg, np. $3x^2$ i $-5x^2$ .

4.Redukcja wyrazów podobnych

Łączenie wyrazów podobnych przez dodanie albo odjęcie ich współczynników liczbowych, np. $4x^2-7x^2=-3x^2$ .

5.Stopień jednomianu

Suma wykładników wszystkich zmiennych w jednomianie. Dla $5x^2y^3$ stopień wynosi $2+3=5$ .

6.Stopień wielomianu jednej zmiennej

Największy wykładnik zmiennej przy wyrazie o współczynniku różnym od zera. Wielomian $2x^4-x+1$ ma stopień $4$ .

7.Dodawanie wielomianów

Polega na połączeniu wszystkich wyrazów obu wielomianów, a następnie redukcji wyrazów podobnych.

8.Odejmowanie wielomianów

Polega na dodaniu wielomianu przeciwnego. Po znaku minus przed nawiasem trzeba zmienić znaki wszystkich wyrazów w nawiasie.

9.Mnożenie jednomianów

Mnożymy współczynniki liczbowe, a przy tych samych podstawach dodajemy wykładniki, np. $2x^3\cdot(-4x^2)=-8x^5$ .

10.Rozmnażanie nawiasów

Każdy wyraz pierwszego wielomianu mnoży się przez każdy wyraz drugiego wielomianu, a otrzymane wyrazy podobne redukuje.

11.Wzór na kwadrat sumy

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . Środkowy składnik jest podwojonym iloczynem składników sumy.

12.Różnica kwadratów

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ . Iloczyn sumy i różnicy tych samych wyrażeń prowadzi do różnicy ich kwadratów.

Notatka

Wielomian i jego budowa

Wielomian jest sumą jednomianów, na przykład $W(x)=4x^3-2x^2+x-7$ . Poszczególne składniki, takie jak $4x^3$ albo $-7$ , nazywamy wyrazami wielomianu. Liczba stojąca przy części literowej jest współczynnikiem.

W działaniach na wielomianach najważniejsze jest rozpoznawanie wyrazów podobnych. Muszą one mieć dokładnie tę samą część literową. Dlatego $3x^2$ i $-8x^2$ są podobne, ale $3x^2$ i $3x$ już nie są.

Stopień wielomianu jednej zmiennej to największy wykładnik zmiennej występujący przy niezerowym współczynniku. Przed jego ustaleniem warto najpierw uprościć wyrażenie.

Dodawanie wielomianów

Aby dodać wielomiany, zapisujemy ich wyrazy bez nawiasów i wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Znak plus przed nawiasem nie zmienia znaków wyrazów znajdujących się w nawiasie.

Dobrą praktyką jest grupowanie wyrazów według potęg: osobno wyrazy z $x^2$ , osobno z $x$ oraz wyrazy stałe. Nie wolno łączyć wyrazów niepodobnych, na przykład $2x^2$ i $5x$ .

Przykład

$(3x^2-4x+1)+(2x^2+x-6)=5x^2-3x-5$ .

Odejmowanie i znaki

Odejmowanie wielomianu oznacza dodanie jego wielomianu przeciwnego. Dlatego znak minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w tym nawiasie. Jest to najczęstsze źródło błędów rachunkowych.

Na przykład zapis $A(x)-(x^2-3x+4)$ należy odczytać jako $A(x)-x^2+3x-4$ . Dopiero po poprawnym usunięciu nawiasów można redukować wyrazy podobne.

Ważne

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika, także wyrazu stałego.

Mnożenie jednomianu przez wielomian

W mnożeniu stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania: jednomian mnożymy przez każdy wyraz wielomianu. Mnożymy współczynniki liczbowe, a w potęgach o tej samej podstawie dodajemy wykładniki, np. $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$ .

Dla $-2x(x^2-3x+5)$ powstają kolejno iloczyny $-2x^3$ , $6x^2$ i $-10x$ . Po wymnożeniu nawiasu należy jeszcze sprawdzić, czy nie pojawiły się wyrazy podobne wymagające redukcji.

Zapamiętaj

Jednomian przed nawiasem musi zostać pomnożony przez każdy wyraz w nawiasie.

Mnożenie dwóch wielomianów

Przy mnożeniu dwóch nawiasów każdy wyraz pierwszego wielomianu mnożymy przez każdy wyraz drugiego. Dla $(x+2)(x-3)$ otrzymujemy $x^2-3x+2x-6$ , a po redukcji $x^2-x-6$ .

Warto pilnować znaków: iloczyn liczb o różnych znakach jest ujemny, a iloczyn liczb o takich samych znakach jest dodatni. Po wykonaniu wszystkich iloczynów porządkujemy wynik malejąco według potęg zmiennej.

Jeśli mnożymy wielomiany stopni $m$ i $n$ , to w typowej sytuacji otrzymujemy wielomian stopnia $m+n$ . Wyjątkowo najwyższe wyrazy mogą się zredukować tylko w bardziej złożonych sumach iloczynów.

Wzory skróconego mnożenia i kontrola wyniku

Część iloczynów można obliczać szybciej za pomocą wzorów skróconego mnożenia:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

W kwadracie sumy lub różnicy nie wolno pomijać składnika środkowego $2ab$ . Natomiast w iloczynie sumy i różnicy wyrazy mieszane redukują się, dlatego wynik zawiera tylko różnicę kwadratów.

Przykład

$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$ , ponieważ składnik środkowy to $-2\cdot2x\cdot3=-12x$ .