Interpretacja geometryczna układów równań liniowych
Matematyka
Zestaw wyjaśnia, jak odczytywać liczbę rozwiązań układu dwóch równań liniowych z położenia prostych na płaszczyźnie. Nauczysz się rozpoznawać układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny oraz łączyć zapis algebraiczny z wykresem.
1.Układ dwóch równań liniowych
Dwa równania z dwiema niewiadomymi, najczęściej i . Rozwiązaniem układu jest taka para liczb , która spełnia jednocześnie oba równania.
2.Interpretacja geometryczna układu
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą na układzie współrzędnych. Liczba rozwiązań układu jest równa liczbie punktów wspólnych tych prostych.
3.Układ oznaczony
Układ mający dokładnie jedno rozwiązanie. Geometrycznie odpowiadają mu dwie proste przecinające się w jednym punkcie.
4.Układ nieoznaczony
Układ mający nieskończenie wiele rozwiązań. Geometrycznie oba równania opisują tę samą prostą, więc każdy punkt tej prostej spełnia układ.
5.Układ sprzeczny
Układ, który nie ma żadnego rozwiązania. Geometrycznie opisuje dwie różne proste równoległe, które nie mają punktu wspólnego.
6.Proste przecinające się
Dwie proste mające dokładnie jeden punkt wspólny. Układ ich równań jest oznaczony.
7.Proste pokrywające się
Dwie proste opisujące ten sam zbiór punktów. Ich równania mogą wyglądać inaczej, lecz jedno może wynikać z drugiego przez pomnożenie lub podzielenie przez liczbę różną od zera.
8.Proste równoległe różne
Dwie proste o tym samym kierunku, które nie są tą samą prostą. Nie przecinają się, dlatego układ ich równań jest sprzeczny.
9.Współczynnik kierunkowy
Liczba we wzorze . Określa nachylenie prostej. Dwie różne proste o różnych współczynnikach kierunkowych przecinają się.
10.Wyraz wolny
Liczba we wzorze . Wyznacza punkt przecięcia prostej z osią , czyli punkt .
11.Metoda podstawiania
Metoda rozwiązywania układu polegająca na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i wstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania.
12.Metoda przeciwnych współczynników
Metoda polegająca na takim pomnożeniu równań, aby po ich dodaniu lub odjęciu wyeliminować jedną niewiadomą.
Notatka
Układ równań jako para prostych
Układ dwóch równań liniowych z niewiadomymi i można rozumieć geometrycznie jako opis dwóch prostych na jednej płaszczyźnie. Każda para spełniająca jedno równanie jest punktem należącym do jednej prostej.
Rozwiązanie całego układu musi spełniać oba równania naraz. Na wykresie oznacza to punkt wspólny prostych. Dlatego liczba rozwiązań zależy wyłącznie od wzajemnego położenia prostych.
- jeden punkt wspólny oznacza jedno rozwiązanie,
- nieskończenie wiele punktów wspólnych oznacza nieskończenie wiele rozwiązań,
- brak punktu wspólnego oznacza brak rozwiązań.
Zapamiętaj
Liczba rozwiązań układu jest równa liczbie punktów wspólnych wykresów obu równań.
Trzy rodzaje układów
Układ oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jego wykres tworzą dwie proste przecinające się w jednym punkcie. Współrzędne tego punktu są rozwiązaniem układu.
Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań. Występuje wtedy, gdy proste pokrywają się, czyli są w rzeczywistości tą samą prostą. Równania mogą mieć inną postać, ale jedno da się otrzymać z drugiego przez pomnożenie albo podzielenie wszystkich jego stron przez tę samą liczbę różną od zera.
Układ sprzeczny nie ma rozwiązań. Jego wykres przedstawia dwie różne proste równoległe, które nigdy się nie przecinają.
Ważne
Proste równoległe mogą oznaczać układ sprzeczny albo nieoznaczony: jeśli są różne, układ jest sprzeczny; jeśli pokrywają się, jest nieoznaczony.
Rozpoznawanie z postaci kierunkowej
Wzór prostej w postaci kierunkowej ma postać . Liczba to współczynnik kierunkowy, który określa nachylenie prostej, a liczba to wyraz wolny, wyznaczający przecięcie z osią .
Dla dwóch prostych oraz :
- gdy , proste przecinają się, więc układ jest oznaczony,
- gdy i , proste są równoległe różne, więc układ jest sprzeczny,
- gdy i , równania opisują tę samą prostą, więc układ jest nieoznaczony.
Przykład
Proste i mają jednakowe nachylenie, lecz inne przecięcia z osią , dlatego nie mają punktu wspólnego.
Rozpoznawanie podczas obliczeń
Układ można rozwiązywać algebraicznie metodą podstawiania albo metodą przeciwnych współczynników. Otrzymany wynik pozwala jednocześnie określić rodzaj układu.
Jeżeli po przekształceniach wyznaczysz konkretną wartość jednej niewiadomej, a potem drugiej, otrzymujesz jedno rozwiązanie, czyli układ oznaczony. Gdy po usunięciu niewiadomej otrzymasz tożsamość, na przykład , równania są zależne i układ jest nieoznaczony. Gdy pojawi się fałsz, na przykład , układ jest sprzeczny.
W metodzie graficznej współrzędne punktu przecięcia mogą być odczytane tylko w przybliżeniu, szczególnie przy niewygodnej skali. Metody algebraiczne są lepsze, gdy trzeba podać wynik dokładny.
Typowe zastosowania i kontrola wyniku
Układy równań opisują sytuacje, w których szukamy dwóch wielkości spełniających dwa warunki, na przykład liczby biletów dwóch rodzajów, cen produktów albo czasu i drogi w prostych zadaniach tekstowych. Interpretacja geometryczna pomaga przewidzieć, czy zadanie ma jedno rozwiązanie, wiele rozwiązań czy jest źle sformułowane.
Po wyznaczeniu pary warto wykonać sprawdzenie: wstawić oba wyniki do każdego równania. Jeśli każda równość jest prawdziwa, para jest rozwiązaniem układu.
Nie należy mylić pojęć: układ oznaczony nie oznacza dwóch prostych o dodatnim nachyleniu, lecz dokładnie jedno rozwiązanie. O rodzaju układu decyduje liczba punktów wspólnych, a nie sam wygląd współczynników w równaniach.
Quizy w tym zestawie
16 pytań w 2 etapach — odblokujesz je po dodaniu zestawu