Pierwiastki dowolnego stopnia i potęgi

Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Zapis $\sqrt[n]{a}$ odczytujemy jako pierwiastek stopnia $n$ z liczby $a$. Szukamy takiej liczby, której potęga $n$ jest równa $a$.

Dla parzystego stopnia pierwiastka liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna. Nie istnieje więc w zbiorze liczb rzeczywistych wyrażenie $\sqrt[4]{-16}$. Dla nieparzystego stopnia można pierwiastkować każdą liczbę rzeczywistą, także ujemną.

Przykładowo $\sqrt{36}=6$, ponieważ $6^2=36$, a $\sqrt[3]{-27}=-3$, ponieważ $(-3)^3=-27$. Równanie $x^2=36$ ma natomiast dwa rozwiązania: $x=6$ oraz $x=-6$.

Najważniejsza zależność ma postać $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$, o ile dane wyrażenie jest określone w liczbach rzeczywistych. Pierwiastek stopnia $n$ można więc traktować jako potęgę o wykładniku ułamkowym.

Jeżeli najpierw obliczamy pierwiastek, a następnie podnosimy wynik do tego samego stopnia, otrzymujemy liczbę wyjściową: $(\sqrt[n]{a})^n=a$. Odwrotna kolejność wymaga ostrożności. Gdy $n$ jest nieparzyste, zachodzi $\sqrt[n]{a^n}=a$. Gdy $n$ jest parzyste, prawidłowy wzór brzmi $\sqrt[n]{a^n}=|a|$.

Na przykład $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$, a nie $-5$.

Dla liczb nieujemnych można korzystać z praw podobnych do praw działań na potęgach:

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$
• $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, gdy $b>0$
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

Własności iloczynu i ilorazu pozwalają upraszczać wyrażenia. Warto rozkładać liczbę pod pierwiastkiem tak, aby jeden z czynników był pełną potęgą odpowiedniego stopnia. Dla przykładu $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$.

Nie wolno natomiast rozdzielać pierwiastka z sumy lub różnicy. Zwykle $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek, rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn, w którym występuje pełna potęga. Przy pierwiastku czwartego stopnia szukamy czwartych potęg, przy sześciennym - sześcianów.

Przykład: $\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{16\cdot 3}=2\sqrt[4]{3}$, ponieważ $16=2^4$. Wnoszenie czynnika pod pierwiastek przebiega odwrotnie: dla $c\geq 0$ mamy $c\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{c^n a}$.

Przykładowo $2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{2^3\cdot 5}=\sqrt[3]{40}$. W zadaniach sprawdzaj stopień pierwiastka: czynnik wnoszony pod pierwiastek trzeba podnieść dokładnie do tego stopnia.

W zadaniach maturalnych często trzeba obliczyć wartość wyrażenia, uprościć pierwiastek albo przekształcić potęgę o wykładniku ułamkowym. Warto najpierw sprawdzić, czy pierwiastek parzystego stopnia ma sens, a potem szukać pełnych potęg pod znakiem pierwiastka.

Jeżeli $\sqrt[4]{x}=3$, można podnieść obie strony do potęgi czwartej i otrzymać $x=81$. Jeśli natomiast występuje $\sqrt{a^2}$, należy zapisać $|a|$, a nie automatycznie $a$.

Przy porównywaniu dodatnich pierwiastków można korzystać z faktu, że potęgowanie z dodatnim wykładnikiem zachowuje kolejność liczb nieujemnych. Dlatego większa liczba pod pierwiastkiem tego samego stopnia daje większy pierwiastek.