Kwadrat sumy i różnicy

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko wykonywać mnożenie nawiasów bez rozpisywania każdego działania od początku. W tym temacie najważniejsze są kwadrat sumy i kwadrat różnicy.

Zapis $(a+b)^2$ oznacza iloczyn $(a+b)(a+b)$, a zapis $(a-b)^2$ oznacza $(a-b)(a-b)$. Litery $a$ i $b$ mogą oznaczać liczby, zmienne, jednomiany albo bardziej złożone wyrażenia.

Podstawowy wzór ma postać:

$$

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

$$

Wynik składa się z trzech części: kwadratu pierwszego składnika, podwojonego iloczynu składników i kwadratu drugiego składnika. Wszystkie znaki są dodatnie.

Przykładowo:

$$

(x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2=x^2+10x+25

$$

Przy wyrażeniu $(2x+3)^2$ pierwszym składnikiem jest całe $2x$, dlatego jego kwadrat wynosi $4x^2$, a nie $2x^2$.

Drugi wzór ma postać:

$$

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

$$

W porównaniu z kwadratem sumy zmienia się wyłącznie znak wyrazu środkowego. Pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, więc mają znak dodatni. Jest to szczególnie ważne, gdy drugi składnik nawiasu jest ujemny.

Dla przykładu:

$$

(3x-2)^2=(3x)^2-2\cdot 3x\cdot 2+2^2=9x^2-12x+4

$$

Częsty błąd to zapisanie na końcu liczby ujemnej. Tymczasem $(-2)^2=4$, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.

Wzory działają w obie strony. Jeśli trójmian ma postać dwóch kwadratów oraz wyrazu środkowego równego podwojonemu iloczynowi składników, można zapisać go jako kwadrat nawiasu.

Na przykład:

$$

x^2+14x+49=(x+7)^2

$$

Liczba $49$ to $7^2$, a wyraz $14x$ jest równy $2\cdot x\cdot 7$. Z kolei:

$$

4x^2-12x+9=(2x-3)^2

$$

Wzory są przydatne także w rachunkach pamięciowych. Można przedstawić liczbę jako sumę lub różnicę liczby wygodnej do podniesienia do kwadratu. Na przykład $49^2=(50-1)^2$.

Przy sprawdzaniu wyniku kontroluj trzy elementy: kwadrat pierwszego składnika, znak i wartość wyrazu środkowego oraz kwadrat drugiego składnika.