Logarytm i jego związek z potęgowaniem

Logarytm opisuje wykładnik potęgi. Zapis $\log_a b=x$ czytamy: „logarytm z $b$ przy podstawie $a$ jest równy $x$”. Oznacza on, że liczba $a$ podniesiona do potęgi $x$ daje liczbę $b$:

$$\log_a b=x \Leftrightarrow a^x=b$$

W tym zapisie $a$ to podstawa logarytmu, $b$ to liczba logarytmowana (argument), a $x$ jest wynikiem.

Na przykład zapis $\log_2 8=3$ jest prawdziwy, bo $2^3=8$. Z kolei z równości $10^4=10000$ wynika $\log 10000=4$.

W liczbach rzeczywistych nie każdy zapis logarytmu ma sens. Dla $\log_a b$ muszą być spełnione jednocześnie trzy warunki:

• podstawa: $a>0$,
• podstawa: $a\ne1$,
• argument: $b>0$.

Podstawa $0$ lub liczba ujemna nie są dopuszczalne. Nie można też stosować podstawy $1$, ponieważ niezależnie od wykładnika zachodzi $1^x=1$, więc nie da się jednoznacznie wyznaczyć wyniku logarytmu. Argument nie może być zerem ani liczbą ujemną.

Warto zauważyć, że podstawa może leżeć między $0$ a $1$, na przykład $\frac{1}{2}$. Poprawnie istnieje więc logarytm $\log_{\frac{1}{2}}4$.

Dwa fakty wynikają bezpośrednio z własności potęg. Dla każdej dopuszczalnej podstawy $a$ zachodzi:

$$\log_a 1=0, \qquad \log_a a=1$$

Pierwsza równość jest prawdziwa, bo $a^0=1$. Druga wynika z faktu, że $a^1=a$. Gdy argument jest potęgą podstawy, logarytm odczytuje jej wykładnik, na przykład $\log_5 125=3$.

Logarytm dziesiętny ma podstawę $10$. Gdy podstawa nie jest zapisana, symbol $\log b$ oznacza zwykle $\log_{10}b$. Przykładowo $\log 100=2$.

Logarytm naturalny ma podstawę $e$ i zapisuje się go jako $\ln b$. W szkolnych zadaniach należy przede wszystkim poprawnie rozpoznawać jego podstawę: $\ln b=\log_e b$.

Prawa logarytmów wynikają z praw działań na potęgach. Obowiązują przy tej samej dopuszczalnej podstawie $a$ oraz dodatnich argumentach $x$ i $y$:

• logarytm iloczynu: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$,
• logarytm ilorazu: $\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$,
• logarytm potęgi: $\log_a(x^k)=k\log_a x$.

Nie wolno rozdzielać logarytmu sumy ani różnicy: zazwyczaj $\log_a(x+y)\ne\log_a x+\log_a y$. To częsty błąd, ponieważ wzór na sumę dotyczy iloczynu argumentów, a nie ich dodawania.

W prostych zadaniach najpewniejszą metodą jest przejście od logarytmu do potęgi. Jeśli masz równanie $\log_3 x=4$, zapisz $3^4=x$, a następnie oblicz $x=81$. Przed wykonaniem przekształcenia sprawdź, czy argument logarytmu jest dodatni.

Gdy występuje kilka logarytmów o tej samej podstawie, można najpierw użyć wzorów na iloczyn, iloraz albo potęgę, a potem wrócić do postaci potęgowej. Na przykład $\log_2 64-\log_2 8=\log_2 8=3$.

W zadaniach maturalnych szczególnie ważne jest rozróżnianie argumentu, podstawy i wyniku oraz kontrola warunków istnienia. Nie zgaduj wartości logarytmu: zawsze sprawdź ją przez odpowiednie potęgowanie.