Monotoniczność potęgowania i porównywanie potęg

Monotoniczność opisuje, jak zmienia się wartość wyrażenia, gdy zwiększamy jego argument. W porównywaniu potęg szczególnie ważna jest sytuacja, gdy stała jest podstawa, a zmienia się wykładnik.

Dla dodatniej podstawy $a$, różnej od $1$, rozpatrujemy funkcję $f(x)=a^x$. Jej zachowanie zależy wyłącznie od tego, czy podstawa jest większa od $1$, czy leży między $0$ i $1$.

• Gdy $a>1$, funkcja $a^x$ jest rosnąca.
• Gdy $0<a<1$, funkcja $a^x$ jest malejąca.
• Gdy $a=1$, każda potęga ma wartość $1$, więc funkcja jest stała.

Jeżeli potęgi mają tę samą podstawę większą od $1$, zachowujemy znak nierówności między wykładnikami. Z faktu $x>y$ wynika wtedy $a^x>a^y$.

Na przykład, ponieważ $5>2$, otrzymujemy $3^5>3^2$. Tak samo działają wykładniki ujemne: z $-2>-4$ wynika $7^{-2}>7^{-4}$.

Inaczej jest przy podstawie będącej dodatnim ułamkiem właściwym. Dla $0<a<1$ znak nierówności między wykładnikami trzeba odwrócić: jeśli $x>y$, to $a^x<a^y$. Przykładowo $\left(\frac{1}{2}\right)^5<\left(\frac{1}{2}\right)^3$.

Jeśli porównujemy dodatnie podstawy podniesione do tego samego dodatniego wykładnika, większa podstawa daje większy wynik. Zatem dla $a>b>0$ i $n>0$ zachodzi $a^n>b^n$. Przykładem jest $6^4>4^4$.

Trzeba jednak uważać, gdy podstawy mogą być ujemne. Potęgowanie do parzystego wykładnika nie jest rosnące w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Liczby przeciwne mają wtedy tę samą wartość potęgi, np. $(-5)^2=5^2$. Ponadto z $-4<-2$ wynika $(-4)^2>(-2)^2$.

Dla dodatniego nieparzystego wykładnika całkowitego kolejność liczb rzeczywistych jest zachowana. Jeśli $a>b$, to $a^{2n+1}>b^{2n+1}$. Wynika to między innymi z tego, że nieparzysta potęga liczby ujemnej nadal jest ujemna.

Wykładnik ujemny nie oznacza, że wynik jest ujemny. Dla $a\ne 0$ obowiązuje zależność $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Zatem $2^{-3}=\frac{1}{8}$, natomiast $(-2)^{-3}=-\frac{1}{8}$.

Przy porównywaniu potęg o podstawie większej od $1$ nadal korzystamy z rosnącego charakteru funkcji wykładniczej. Ponieważ $-5<-2$, mamy $3^{-5}<3^{-2}$. Jest to zgodne z interpretacją ułamkową: $\frac{1}{3^5}<\frac{1}{3^2}$.

Gdy podstawy są różne, często można przedstawić je jako potęgi jednej liczby. Wtedy używamy prawa $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$ i porównujemy otrzymane wykładniki.

Na przykład $16^3=(2^4)^3=2^{12}$, a $8^4=(2^3)^4=2^{12}$, więc te potęgi są równe. Z kolei $27^2=(3^3)^2=3^6$, zatem $27^2<3^7$.

Warto też zapisywać ułamki jako potęgi o wykładnikach ujemnych: $\frac{1}{8}=2^{-3}$ oraz $\frac{1}{25}=5^{-2}$. Pozwala to porównać liczby bez rozwijania dużych potęg.

Najpierw szukaj wspólnej podstawy, a następnie ustal, czy jest ona większa od $1$, czy zawarta między $0$ i $1$.

W zadaniu maturalnym należy przede wszystkim rozpoznać strukturę porównywanych wyrażeń. Jeśli podstawy są identyczne, porównaj wykładniki z uwzględnieniem rodzaju podstawy. Jeśli wykładniki są jednakowe i dodatnie, porównaj dodatnie podstawy. Przy różnych podstawach spróbuj sprowadzić je do wspólnej podstawy.

• Sprawdź, czy podstawa jest dodatnia oraz czy jest większa od $1$.
• Zapisz liczby takie jak $4$, $8$, $9$, $16$, $25$ jako odpowiednie potęgi.
• Użyj praw działań na potęgach, zwłaszcza $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$.
• Nie porównuj automatycznie podstaw, gdy wykładnik jest parzysty, a podstawy są ujemne.

Częsty błąd polega na twierdzeniu, że większy wykładnik zawsze daje większą wartość. Jest to prawdziwe dla podstawy większej od $1$, ale fałszywe dla podstawy z przedziału $(0,1)$.