Procent składany: lokaty, kredyty i zyski

Procent składany opisuje sytuację, w której odsetki po zakończeniu okresu są dopisywane do kapitału. W następnym okresie oprocentowany jest zatem nie tylko wpłacony kapitał, lecz także wcześniej uzyskane odsetki.

Jeżeli kapitał początkowy oznaczymy przez $K_0$, a roczną stopę procentową przez $p\%$, to po jednym roku kapitał ma wartość $K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)$. Wyrażenie $1+\frac{p}{100}$ jest współczynnikiem wzrostu.

Mechanizm procentu składanego wykorzystuje się przede wszystkim w lokatach, kontach oszczędnościowych i modelach narastania zadłużenia. Im dłuższy czas oszczędzania, tym bardziej widoczny staje się efekt naliczania „odsetek od odsetek”.

Przy stałej rocznej stopie i kapitalizacji rocznej wartość kapitału po $n$ latach obliczamy ze wzoru:

$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$

Symbol $K_n$ oznacza wartość końcową, a wykładnik $n$ — liczbę okresów, w których odsetki zostały dopisane. Wzór ma postać funkcji wykładniczej: kapitał nie rośnie co rok o stałą kwotę, lecz jest mnożony przez ten sam współczynnik.

Zysk brutto z lokaty to różnica $K_n-K_0$. Nie należy mylić zysku z całą kwotą końcową, ponieważ część tej kwoty stanowi odzyskany kapitał początkowy.

Kapitalizacja to dopisanie odsetek do kapitału. Może odbywać się raz na rok, pół roku, kwartał albo miesiąc. Jeśli odsetki są dopisywane $m$ razy w roku, roczna stopa $p\%$ jest dzielona na okresy, a liczba wszystkich okresów rośnie.

Stosujemy wtedy wzór:

$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100m}\right)^{mn}$$

Przy kapitalizacji kwartalnej mamy $m=4$, a przy miesięcznej $m=12$. Trzeba pilnować obu zmian naraz: stopę dzielimy przez $m$, natomiast liczbę lat mnożymy przez $m$.

Oprocentowanie nominalne jest stopą podawaną w skali roku. Częstsza kapitalizacja przy tej samej stopie nominalnej zwykle zwiększa rzeczywisty roczny przyrost kapitału. Ten przyrost opisuje efektywna roczna stopa procentowa.

Na lokacie odsetki są przychodem oszczędzającego. W praktyce należy odróżniać zysk brutto od zysku netto. Zysk brutto to wszystkie naliczone odsetki przed potrąceniem podatku.

W Polsce podatek od zysków kapitałowych wynosi standardowo $19\%$ zysku. Nie obciąża on całej kwoty zgromadzonej na lokacie, lecz wyłącznie uzyskane odsetki. Jeśli zysk brutto wynosi $Z$, to podatek wynosi $0{,}19Z$, a zysk netto to $0{,}81Z$.

Przy porównywaniu lokat sprawdzaj: wysokość oprocentowania, czas trwania umowy, częstotliwość kapitalizacji, podatek oraz ewentualne warunki promocji. Oferta z wyższym oprocentowaniem nominalnym nie zawsze jest korzystniejsza, jeśli pozostałe warunki są inne.

W kredycie ten sam mechanizm działa na niekorzyść kredytobiorcy: odsetki są kosztem korzystania z pieniędzy banku. Gdy dług nie jest spłacany, może rosnąć zgodnie z modelem procentu składanego.

Jeśli początkowy dług oznaczymy przez $D_0$, to przy braku spłat i rocznej stopie $p\%$ po $n$ latach modelowo wynosi on $D_n=D_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$. Rzeczywiste umowy kredytowe mogą zawierać dodatkowe opłaty i zasady, dlatego zawsze trzeba czytać warunki oferty.

Rata kredytu zwykle ma część odsetkową i kapitałową. Część odsetkowa jest kosztem, natomiast część kapitałowa obniża pozostałe zadłużenie. Do oceny kredytu nie wystarcza samo oprocentowanie: znaczenie mają także prowizje, ubezpieczenia, harmonogram spłat i całkowity koszt.

Najpierw ustal, czy zadanie dotyczy wzrostu kapitału, spadku wartości czy długu. Następnie określ kapitał początkowy, stopę w zapisie dziesiętnym, liczbę kapitalizacji w roku i liczbę wszystkich okresów.

Kolejne zmiany procentowe wykonuje się przez mnożenie współczynników. Wzrost o $20\%$, a potem spadek o $20\%$ oznacza mnożenie przez $1{,}20\cdot0{,}80=0{,}96$, czyli końcowy spadek o $4\%$. Procenty odnoszą się bowiem do różnych podstaw.

W zadaniu maturalnym warto podać wzór, poprawnie podstawić dane, zachować jednostkę pieniężną i na końcu jasno zinterpretować wynik: wartość lokaty, zysk, wysokość podatku albo narastające zadłużenie.