Równanie prostej: postać kierunkowa i ogólna

Równanie prostej opisuje wszystkie punkty płaszczyzny, których współrzędne spełniają określony warunek. W geometrii analitycznej szczególnie często stosuje się postać kierunkową i postać ogólną.

Prosta może być rosnąca, malejąca, pozioma albo pionowa. Jej położenie rozpoznajemy między innymi dzięki współczynnikom występującym w równaniu.

Postać kierunkowa ma wzór $y=ax+b$. Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy, a liczba $b$ to wyraz wolny.

Współczynnik $a$ określa nachylenie prostej:

• gdy $a>0$, prosta jest rosnąca;
• gdy $a<0$, prosta jest malejąca;
• gdy $a=0$, prosta jest pozioma.

Wyraz wolny $b$ wskazuje przecięcie wykresu z osią $OY$. W tym punkcie $x=0$, zatem współrzędne punktu przecięcia to $(0,b)$.

Prosta pozioma ma równanie $y=q$, gdzie $q$ jest stałą liczbą. Jest równoległa do osi $OX$ i w postaci kierunkowej ma współczynnik $a=0$.

Prosta pionowa ma równanie $x=p$, gdzie $p$ jest stałą liczbą. Jest równoległa do osi $OY$. Nie można jej zapisać jako $y=ax+b$, ponieważ jednemu $x$ odpowiadałyby wszystkie wartości $y$, a nie jedna wartość.

Proste pionowe rozpoznajemy więc po tym, że w ich równaniu występuje wyłącznie stała wartość współrzędnej $x$.

Postać ogólną prostej zapisujemy jako $Ax+By+C=0$. Współczynniki $A$, $B$ i $C$ są liczbami, przy czym $A$ i $B$ nie mogą jednocześnie być równe $0$.

Gdy $B$ jest różne od $0$, można przekształcić równanie ogólne do postaci kierunkowej. Wyznaczamy $y$: $y=(-A/B)x-C/B$. Stąd współczynnik kierunkowy wynosi $-A/B$, a wyraz wolny $-C/B$.

Jeżeli $B=0$, otrzymujemy prostą pionową. Przykładowo z $2x-6=0$ wynika $x=3$.

Jeśli znamy współczynnik kierunkowy $a$ oraz punkt $(x_0,y_0)$ należący do prostej, podstawiamy jego współrzędne do równania $y=ax+b$. Pozwala to obliczyć wyraz wolny $b$.

Gdy dana jest para punktów $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$ o różnych współrzędnych $x$, najpierw wyznaczamy współczynnik kierunkowy: $a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$. Następnie korzystamy z jednego z punktów, aby znaleźć $b$.

Jeżeli oba punkty mają tę samą współrzędną $x$, wyznaczają prostą pionową o równaniu $x=x_1$.

Dla prostych zapisanych jako $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$ porównujemy przede wszystkim współczynniki kierunkowe.

• Jeśli $a_1$ jest różne od $a_2$, proste przecinają się w jednym punkcie.
• Jeśli $a_1=a_2$ i $b_1$ jest różne od $b_2$, proste są równoległe i różne.
• Jeśli $a_1=a_2$ oraz $b_1=b_2$, proste pokrywają się.

Współrzędne punktu przecięcia wyznaczamy, rozwiązując układ równań obu prostych. Układ ma jedno rozwiązanie dla prostych przecinających się, nie ma rozwiązań dla różnych prostych równoległych, a ma nieskończenie wiele rozwiązań dla prostych pokrywających się.