Działania na liczbach rzeczywistych

Liczby rzeczywiste tworzą zbiór wszystkich liczb, które można przedstawić na osi liczbowej. Należą do nich liczby naturalne, całkowite, wymierne oraz liczby niewymierne, na przykład $\sqrt{2}$ i $\pi$.

Na liczbach rzeczywistych wykonujemy między innymi dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie. Trzeba pamiętać, że dzielenie przez zero nie jest określone. Liczba $0$ nie ma więc liczby odwrotnej.

Aby wartość wyrażenia była jednoznaczna, stosuje się ustaloną kolejność działań. Najpierw obliczamy wyrażenia w nawiasach, zaczynając od nawiasów najbardziej wewnętrznych. Następnie wykonujemy potęgowanie i pierwiastkowanie, a potem mnożenie oraz dzielenie. Na końcu wykonujemy dodawanie i odejmowanie.

• nawiasy
• potęgi i pierwiastki
• mnożenie i dzielenie
• dodawanie i odejmowanie

Mnożenie z dzieleniem mają ten sam priorytet. Tak samo równorzędne są dodawanie i odejmowanie. Działania równorzędne wykonuje się od lewej do prawej.

W obliczeniach wykorzystuje się własności dodawania i mnożenia. Prawo przemienności pozwala zmienić kolejność składników lub czynników: $a+b=b+a$ oraz $a\cdot b=b\cdot a$. Nie wolno jednak dowolnie przestawiać liczb w odejmowaniu ani dzieleniu, ponieważ zwykle zmienia to wynik.

Prawo łączności pozwala inaczej grupować składniki lub czynniki: $(a+b)+c=a+(b+c)$ oraz $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$. Jest przydatne, gdy można łatwo połączyć liczby dające wygodną sumę albo iloczyn.

Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania ma postać $a(b+c)=ab+ac$. Liczba stojąca przed nawiasem musi zostać pomnożona przez każdy składnik w nawiasie. Dla różnicy stosujemy analogicznie $a(b-c)=ab-ac$.

Przy mnożeniu i dzieleniu obowiązuje reguła znaków: liczby o takich samych znakach dają wynik dodatni, a liczby o różnych znakach — ujemny. Zatem $(-a)(-b)=ab$, natomiast $(-a)b=-ab$ dla dodatnich $a$ i $b$.

Szczególną uwagę zwracaj na nawias przy liczbie ujemnej. Zapis $(-3)^2$ oznacza podniesienie całej liczby $-3$ do kwadratu, dlatego daje $9$. Zapis $-3^2$ oznacza natomiast liczbę przeciwną do $3^2$, czyli $-9$.

Przy wykładniku parzystym potęga liczby ujemnej jest dodatnia, na przykład $(-2)^4=16$. Przy wykładniku nieparzystym pozostaje ujemna, na przykład $(-2)^3=-8$. Nawiasy nie są ozdobą: często całkowicie zmieniają wartość wyrażenia.

W zadaniu rachunkowym zapisuj kolejne etapy, szczególnie gdy występuje kilka nawiasów, ułamki lub liczby ujemne. Nie wykonuj działań „na pamięć” w przypadkowej kolejności. Po każdym kroku sprawdzaj, czy poprawnie przepisałeś znaki oraz nawiasy.

Warto upraszczać obliczenia za pomocą przemienności, łączności i rozdzielności, ale tylko wtedy, gdy dane działanie na to pozwala. Na przykład w sumie można połączyć liczby przeciwne, a w iloczynie wygodnie zestawić czynniki dające $10$, $100$ albo $1$.