Potęgi o wykładniku wymiernym

Potęgowanie o wykładniku wymiernym rozszerza znane działania na potęgach całkowitych. Dla dodatniej podstawy $a>0$, liczby całkowitej $m$ i liczby naturalnej $n$ definiujemy:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$$

Mianownik wykładnika wskazuje stopień pierwiastka, a licznik — potęgę, do której podnosimy otrzymaną liczbę. W szczególności $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.

Na przykład $8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=3^2=9$ byłoby błędne, ponieważ $\sqrt[3]{8}=2$; poprawnie otrzymujemy $2^2=4$. Zawsze warto sprawdzić prostą potęgę, np. $2^3=8$.

Reguła dla ujemnego wykładnika pozostaje taka sama jak przy wykładnikach całkowitych: dla $a>0$ zachodzi $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$. Minus w wykładniku nakazuje obliczyć odwrotność potęgi, a nie zmienić znak liczby.

Przykładowo $16^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{16^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{4}$. Natomiast $(\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}=9^{\frac{1}{2}}=3$.

Ważna jest również reguła wykładnika zerowego: jeśli $a\neq 0$, to $a^0=1$. Nie należy stosować jej do $0^0$, ponieważ takie wyrażenie nie jest określone w szkolnym rachunku.

Dla dodatniej podstawy można stosować znane prawa potęg także wtedy, gdy wykładniki są wymierne. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy: $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$. Przy dzieleniu odejmujemy: $\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$.

Jeżeli potęga jest podniesiona do kolejnej potęgi, wykładniki mnożymy: $(a^p)^q=a^{pq}$. Dotyczy to również ułamków w wykładnikach.

Dla dodatnich liczb obowiązują także wzory $(ab)^r=a^rb^r$ oraz $\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}$. Nie wolno jednak „rozdzielać” potęgi na składniki sumy: zazwyczaj $(a+b)^r\neq a^r+b^r$.

W zadaniach rachunkowych najwygodniej najpierw rozpoznać podstawę jako potęgę liczby prostszej. Na przykład $81=3^4$, więc $81^{\frac{3}{4}}=(3^4)^{\frac{3}{4}}=3^3=27$. Takie przekształcenie często eliminuje konieczność zapisywania pierwiastków.

Jeśli wykładnik można skrócić, wolno to zrobić: $a^{\frac{6}{8}}=a^{\frac{3}{4}}$. Następnie można obliczyć pierwiastek czwartego stopnia i podnieść wynik do trzeciej potęgi.

Przy bardziej złożonych wyrażeniach warto kolejno: uprościć wykładniki, wykorzystać prawa mnożenia lub dzielenia potęg, a dopiero na końcu obliczyć wartość liczbową. Pozwala to uniknąć błędów rachunkowych.

W standardowych wzorach dotyczących potęg o wykładniku wymiernym zakłada się zwykle, że podstawa jest dodatnia: $a>0$. Dzięki temu zapis jest jednoznaczny i można bez ograniczeń korzystać z praw działań.

Częsty błąd polega na myleniu ról licznika i mianownika w wykładniku. W $a^{\frac{3}{5}}$ liczba $5$ oznacza stopień pierwiastka, a $3$ — potęgę. Innym błędem jest mnożenie wykładników podczas mnożenia potęg: w iloczynie $a^p\cdot a^q$ wykładniki się dodaje.

Warto również odróżniać $a^{-\frac{1}{2}}$ od $-a^{\frac{1}{2}}$. Pierwsze wyrażenie oznacza odwrotność pierwiastka, a drugie — liczbę przeciwną do pierwiastka.