Matematyka

Potęgi o wykładniku wymiernym

Zestaw wyjaśnia znaczenie potęg o wykładniku wymiernym oraz najważniejsze prawa działań na nich. Utrwalisz związek potęg z pierwiastkami, warunki stosowania wzorów i typowe przekształcenia maturalne.

Szkoła średnia12 fiszek16 pytań w 2 etapachnotatka

Podcast

Ładuję…

Quizy w tym zestawie

16 pytań w 2 etapach

Odblokujesz je po dodaniu zestawu.

Etap 1
6 fiszek · 8 pytań
Etap 2
6 fiszek · 8 pytań
Powtórka z całości
15 pytań ze wszystkich etapów, po ukończeniu etapów

Karty pracy

Ćwiczenia do wydruku na ten temat

Liczby rzeczywiste - potęgi, pierwiastki i przedziały - sprawdzianSzkoła średnia, klasa 1

Otwórz kartę pracy

Liczby rzeczywiste - potęgi, pierwiastki i przedziałySzkoła średnia, klasa 1

Otwórz kartę pracy

Lekcje z kursów Odrabiamy

Obejrzyj albo posłuchaj o tym temacie

Funkcja wykładniczaWideo, 12 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

Zastosowanie funkcji wykładniczej i logarytmicznejWideo, 10 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

Funkcja wymiernaWideo, 12 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

1.Potęga o wykładniku wymiernym

Dla $a>0$ , $m\in\mathbb{Z}$ i $n\in\mathbb{N}$ , $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$ . Wykładnik wymierny zapisuje się w postaci ułamka.

2.Potęga o wykładniku $\frac{1}{n}$

Dla $a\geq 0$ oraz $n\in\mathbb{N}$ zachodzi $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ . Jest to pierwiastek stopnia $n$ z liczby $a$ .

3.Potęga o wykładniku ujemnym

Dla $a>0$ i dowolnego wykładnika wymiernego $r$ zachodzi $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$ . Ujemny wykładnik nie oznacza, że wynik musi być ujemny.

4.Mnożenie potęg o tej samej podstawie

Dla $a>0$ zachodzi $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$ . Przy mnożeniu dodajemy wykładniki, jeśli podstawy są takie same.

5.Dzielenie potęg o tej samej podstawie

Dla $a>0$ zachodzi $\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$ . Przy dzieleniu odejmujemy wykładnik w mianowniku od wykładnika w liczniku.

6.Potęgowanie potęgi

Dla $a>0$ zachodzi $(a^p)^q=a^{pq}$ . Wykładniki należy pomnożyć.

7.Potęga iloczynu

Dla dodatnich liczb $a,b$ zachodzi $(ab)^r=a^r\cdot b^r$ . Ten sam wykładnik można rozdzielić na oba czynniki iloczynu.

8.Potęga ilorazu

Dla $a,b>0$ zachodzi $\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}$ . Potęgujemy licznik i mianownik.

9.Wykładnik zerowy

Dla $a\neq 0$ zachodzi $a^0=1$ . Wynika to z praw działań na potęgach, np. $a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}=a^0=1$ dla $a>0$ .

10.Sprowadzanie wykładnika do prostszej postaci

Ułamek w wykładniku można skracać, np. $a^{\frac{6}{8}}=a^{\frac{3}{4}}$ . Warto najpierw skrócić wykładnik, a potem obliczać pierwiastek i potęgę.

11.Warunek dodatniej podstawy

Dla ogólnych praw działań na potęgach wymiernych przyjmuje się zwykle $a>0$ . Dzięki temu wyrażenie jest jednoznacznie określone niezależnie od sposobu zapisu wykładnika.

12.Przykład obliczania potęgi wymiernej

$16^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$ . Najpierw można obliczyć pierwiastek czwartego stopnia, a następnie podnieść wynik do trzeciej potęgi.

Notatka

Znaczenie wykładnika wymiernego

Potęgowanie o wykładniku wymiernym rozszerza znane działania na potęgach całkowitych. Dla dodatniej podstawy $a>0$ , liczby całkowitej $m$ i liczby naturalnej $n$ definiujemy:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$

Mianownik wykładnika wskazuje stopień pierwiastka, a licznik - potęgę, do której podnosimy otrzymaną liczbę. W szczególności $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ .

Zapamiętaj

W wykładniku $\frac{m}{n}$ najpierw odczytaj pierwiastek stopnia $n$ , a potem potęgę $m$ .

Na przykład $8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$ , ponieważ $\sqrt[3]{8}=2$ . Zawsze warto sprawdzić prostą potęgę, np. $2^3=8$ .

Ujemne i zerowe wykładniki

Reguła dla ujemnego wykładnika pozostaje taka sama jak przy wykładnikach całkowitych: dla $a>0$ zachodzi $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$ . Minus w wykładniku nakazuje obliczyć odwrotność potęgi, a nie zmienić znak liczby.

Przykładowo $16^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{16^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{4}$ . Natomiast $(\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}=9^{\frac{1}{2}}=3$ .

Ważna jest również reguła wykładnika zerowego: jeśli $a\neq 0$ , to $a^0=1$ . Nie należy stosować jej do $0^0$ , ponieważ takie wyrażenie nie jest określone w szkolnym rachunku.

Ważne

Ujemny wykładnik daje odwrotność: $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$ .

Prawa działań na potęgach

Dla dodatniej podstawy można stosować znane prawa potęg także wtedy, gdy wykładniki są wymierne. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy: $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$ . Przy dzieleniu odejmujemy: $\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$ .

Jeżeli potęga jest podniesiona do kolejnej potęgi, wykładniki mnożymy: $(a^p)^q=a^{pq}$ . Dotyczy to również ułamków w wykładnikach.

Dla dodatnich liczb obowiązują także wzory $(ab)^r=a^rb^r$ oraz $\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}$ . Nie wolno jednak „rozdzielać” potęgi na składniki sumy: zazwyczaj $(a+b)^r\neq a^r+b^r$ .

Przykład

$2^{\frac{1}{3}}\cdot2^{\frac{2}{3}}=2^{1}=2$ , ponieważ $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$ .

Bezpieczna kolejność obliczeń

W zadaniach rachunkowych najwygodniej najpierw rozpoznać podstawę jako potęgę liczby prostszej. Na przykład $81=3^4$ , więc $81^{\frac{3}{4}}=(3^4)^{\frac{3}{4}}=3^3=27$ . Takie przekształcenie często eliminuje konieczność zapisywania pierwiastków.

Jeśli wykładnik można skrócić, wolno to zrobić: $a^{\frac{6}{8}}=a^{\frac{3}{4}}$ . Następnie można obliczyć pierwiastek czwartego stopnia i podnieść wynik do trzeciej potęgi.

Przy bardziej złożonych wyrażeniach warto kolejno: uprościć wykładniki, wykorzystać prawa mnożenia lub dzielenia potęg, a dopiero na końcu obliczyć wartość liczbową. Pozwala to uniknąć błędów rachunkowych.

Warunki i typowe błędy

W standardowych wzorach dotyczących potęg o wykładniku wymiernym zakłada się zwykle, że podstawa jest dodatnia: $a>0$ . Dzięki temu zapis jest jednoznaczny i można bez ograniczeń korzystać z praw działań.

Częsty błąd polega na myleniu ról licznika i mianownika w wykładniku. W $a^{\frac{3}{5}}$ liczba $5$ oznacza stopień pierwiastka, a $3$ - potęgę. Innym błędem jest mnożenie wykładników podczas mnożenia potęg: w iloczynie $a^p\cdot a^q$ wykładniki się dodaje.

Warto również odróżniać $a^{-\frac{1}{2}}$ od $-a^{\frac{1}{2}}$ . Pierwsze wyrażenie oznacza odwrotność pierwiastka, a drugie - liczbę przeciwną do pierwiastka.