Logarytmy: definicja i podstawowe wzory

Logarytm jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Zapis $\log_a b=c$ oznacza dokładnie tyle, że $a^c=b$. Liczba $a$ to podstawa logarytmu, liczba $b$ to argument, a liczba $c$ jest wartością logarytmu.

Aby zapis miał sens w zbiorze liczb rzeczywistych, podstawa musi spełniać warunki $a>0$ oraz $a\ne1$, a argument musi spełniać warunek $b>0$. W szczególności nie oblicza się logarytmów liczb ujemnych ani zera.

Dwa podstawowe fakty wynikają bezpośrednio z definicji. Ponieważ $a^0=1$, mamy $\log_a 1=0$. Ponieważ $a^1=a$, otrzymujemy $\log_a a=1$. Ponadto $\log_a(a^k)=k$, gdyż potęgowanie i logarytmowanie o tej samej podstawie wzajemnie się odwracają.

Przykładowo $\log_2 32=5$, bo $2^5=32$, a $\log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2$, ponieważ $3^{-2}=\frac{1}{9}$. Ujemna wartość logarytmu jest więc możliwa; niedopuszczalny jest natomiast ujemny argument.

Dla dodatnich liczb $x$ i $y$ oraz tej samej podstawy $a$ zachodzą dwa kluczowe wzory:

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
• $\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$

Pierwszy wzór pozwala rozłożyć logarytm iloczynu na sumę albo połączyć sumę logarytmów w jeden logarytm. Drugi działa podobnie dla ilorazu i różnicy. Przed użyciem wzoru trzeba sprawdzić, czy wszystkie logarytmy mają tę samą podstawę oraz czy argumenty są dodatnie.

Jeżeli $x>0$, to obowiązuje wzór $\log_a(x^k)=k\log_a x$. Wykładnik potęgi można więc przenieść przed symbol logarytmu jako współczynnik. Działa to też w odwrotną stronę: wyrażenie $k\log_a x$ można zapisać jako $\log_a(x^k)$.

W typowym zadaniu upraszczającym najpierw można połączyć składniki przez wzory na iloczyn i iloraz, a następnie wykorzystać potęgę lub definicję. Na przykład $\log_2 12-\log_2 3+\log_2 2=\log_2\left(\frac{12\cdot2}{3}\right)=\log_2 8=3$.

Przy wyrażeniach z niewiadomą najpierw ustala się dziedzinę, wymagając dodatniości każdego argumentu logarytmu. Dopiero potem wykonuje się przekształcenia algebraiczne.