Matematyka

Funkcja liniowa: współczynniki i wzór

Zestaw wyjaśnia postać funkcji liniowej oraz znaczenie współczynników kierunkowego i wyrazu wolnego. Uczy wyznaczania wzoru funkcji na podstawie wykresu, punktów, miejsca zerowego i informacji z zadania tekstowego.

Szkoła średnia10 fiszek16 pytań w 2 etapachnotatka

Podcast

Ładuję…

Quizy w tym zestawie

16 pytań w 2 etapach

Odblokujesz je po dodaniu zestawu.

Etap 1
8 fiszek · 8 pytań
Etap 2
2 fiszki · 8 pytań
Powtórka z całości
15 pytań ze wszystkich etapów, po ukończeniu etapów

Karty pracy

Ćwiczenia do wydruku na ten temat

Funkcja liniowa - wykres, współczynniki i własnościSzkoła średnia, klasa 1

Otwórz kartę pracy

Funkcje i funkcja liniowa - sprawdzianSzkoła średnia, klasa 1

Otwórz kartę pracy

Lekcje z kursów Odrabiamy

Obejrzyj albo posłuchaj o tym temacie

Równoległość i prostopadłość wykresów funkcji liniowychWideo, 8 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowejWideo, 14 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

Zadania złożone - funkcja liniowaWideo, 13 min · Kurs Maturalny - Matematyka podstawowa 2027

Obejrzyj lekcję

1.Funkcja liniowa

Funkcja opisana wzorem $f(x)=ax+b$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Jej wykresem jest prosta.

2.Współczynnik kierunkowy $a$

Liczba stojąca przy $x$ we wzorze $f(x)=ax+b$ . Określa nachylenie prostej: gdy $a>0$ , funkcja rośnie, a gdy $a<0$ , maleje.

3.Wyraz wolny $b$

Liczba niezawierająca zmiennej $x$ we wzorze $f(x)=ax+b$ . Jest równa wartości $f(0)$ i wskazuje punkt przecięcia wykresu z osią $OY$ .

4.Funkcja rosnąca liniowa

Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym $a>0$ . Wraz ze wzrostem argumentu jej wartości rosną.

5.Funkcja malejąca liniowa

Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym $a<0$ . Wraz ze wzrostem argumentu jej wartości maleją.

6.Funkcja stała

Szczególny przypadek funkcji liniowej, gdy $a=0$ . Ma postać $f(x)=b$ , a jej wykresem jest prosta równoległa do osi $OX$ .

7.Miejsce zerowe funkcji liniowej

Argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ . Dla $a\ne0$ funkcji $f(x)=ax+b$ jest to liczba $x_0=-\frac{b}{a}$ .

8.Wzór funkcji przez dwa punkty

Jeśli prosta przechodzi przez punkty o różnych współrzędnych $x$ , to $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ , a następnie wyznacza się $b$ , podstawiając współrzędne jednego punktu do wzoru $y=ax+b$ .

9.Proste równoległe

Dwie różne proste o równaniach kierunkowych są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe $a$ i różne wyrazy wolne $b$ .

10.Zmiana wartości funkcji

W funkcji $f(x)=ax+b$ zwiększenie argumentu o $1$ powoduje zmianę wartości funkcji o $a$ . Na przykład przy $a=3$ wartość rośnie o $3$ .

Notatka

Postać i wykres funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Jej wykresem jest prosta w układzie współrzędnych.

Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy, a liczba $b$ to wyraz wolny. Każda para liczb $a$ i $b$ wyznacza jedną funkcję liniową. Wyjątkiem w sensie własności jest sytuacja $a=0$ : wtedy otrzymujemy funkcję stałą.

Zapamiętaj

Wartość $b$ zawsze odczytasz jako współrzędną $y$ punktu przecięcia wykresu z osią $OY$ .

Interpretacja współczynnika kierunkowego

Współczynnik $a$ określa nachylenie prostej oraz tempo zmiany wartości funkcji. Jeśli argument wzrasta o $1$ , wartość funkcji zmienia się o $a$ .

Gdy $a>0$ , funkcja jest rosnąca: prosta wznosi się od lewej do prawej.
Gdy $a<0$ , funkcja jest malejąca: prosta opada od lewej do prawej.
Gdy $a=0$ , funkcja jest stała, a jej wykres jest równoległy do osi $OX$ .

Im większa wartość bezwzględna współczynnika $a$ , tym bardziej stroma jest prosta. Znak współczynnika informuje o kierunku nachylenia, a nie o tym, czy wykres leży nad osią $OX$ .

Znaczenie wyrazu wolnego i miejsce zerowe

Wyraz wolny $b$ wskazuje wartość funkcji dla argumentu $0$ , ponieważ $f(0)=b$ . Wykres przecina więc oś $OY$ w punkcie $(0,b)$ .

Jeżeli $a\ne0$ , funkcja ma jedno miejsce zerowe, czyli taki argument $x_0$ , dla którego $f(x_0)=0$ . Obliczamy je z równania $ax+b=0$ , otrzymując $x_0=-\frac{b}{a}$ . Punkt $(x_0,0)$ jest punktem przecięcia wykresu z osią $OX$ .

Ważne

Miejsce zerowe jest argumentem, czyli liczbą na osi $OX$ , a nie wartością funkcji.

Wyznaczanie wzoru funkcji

Gdy znasz współczynnik kierunkowy $a$ i punkt $(x_0,y_0)$ należący do wykresu, podstawiasz jego współrzędne do równania $y=ax+b$ . Otrzymane równanie pozwala obliczyć $b$ .

Jeżeli znasz dwa punkty $(x_1,y_1)$ oraz $(x_2,y_2)$ o różnych współrzędnych $x$ , najpierw oblicz współczynnik kierunkowy: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ . Następnie podstaw jeden z punktów do wzoru $y=ax+b$ i wyznacz $b$ .

Przykład

Dla punktów $(1,2)$ i $(3,6)$ mamy $a=\frac{6-2}{3-1}=2$ , a po podstawieniu $2=2\cdot1+b$ dostajemy $b=0$ , więc $f(x)=2x$ .

Równoległość i zadania praktyczne

Dwie różne proste są równoległe, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Na przykład wykresy $y=2x+1$ oraz $y=2x-4$ są równoległe. Jeżeli współczynniki kierunkowe są różne, proste przecinają się w jednym punkcie.

W zadaniach praktycznych współczynnik $a$ zwykle opisuje zmianę wielkości na jedną jednostkę, np. koszt za kilometr, zarobek za godzinę lub przyrost temperatury w ciągu godziny. Wyraz wolny $b$ oznacza wartość początkową, np. opłatę startową albo stan na początku obserwacji.

Przed zapisaniem wzoru warto ustalić: co oznacza argument $x$ , co oznacza wartość funkcji oraz która informacja jest stała, a która zmienia się wraz z $x$ .