Funkcja liniowa: współczynniki i wzór

Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Jej wykresem jest prosta w układzie współrzędnych.

Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy, a liczba $b$ to wyraz wolny. Każda para liczb $a$ i $b$ wyznacza jedną funkcję liniową. Wyjątkiem w sensie własności jest sytuacja $a=0$: wtedy otrzymujemy funkcję stałą.

Współczynnik $a$ określa nachylenie prostej oraz tempo zmiany wartości funkcji. Jeśli argument wzrasta o $1$, wartość funkcji zmienia się o $a$.

• Gdy $a>0$, funkcja jest rosnąca: prosta wznosi się od lewej do prawej.
• Gdy $a<0$, funkcja jest malejąca: prosta opada od lewej do prawej.
• Gdy $a=0$, funkcja jest stała, a jej wykres jest równoległy do osi $OX$.

Im większa wartość bezwzględna współczynnika $a$, tym bardziej stroma jest prosta. Znak współczynnika informuje o kierunku nachylenia, a nie o tym, czy wykres leży nad osią $OX$.

Wyraz wolny $b$ wskazuje wartość funkcji dla argumentu $0$, ponieważ $f(0)=b$. Wykres przecina więc oś $OY$ w punkcie $(0,b)$.

Jeżeli $a\ne0$, funkcja ma jedno miejsce zerowe, czyli taki argument $x_0$, dla którego $f(x_0)=0$. Obliczamy je z równania $ax+b=0$, otrzymując $x_0=-\frac{b}{a}$. Punkt $(x_0,0)$ jest punktem przecięcia wykresu z osią $OX$.

Gdy znasz współczynnik kierunkowy $a$ i punkt $(x_0,y_0)$ należący do wykresu, podstawiasz jego współrzędne do równania $y=ax+b$. Otrzymane równanie pozwala obliczyć $b$.

Jeżeli znasz dwa punkty $(x_1,y_1)$ oraz $(x_2,y_2)$ o różnych współrzędnych $x$, najpierw oblicz współczynnik kierunkowy: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Następnie podstaw jeden z punktów do wzoru $y=ax+b$ i wyznacz $b$.

Dwie różne proste są równoległe, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Na przykład wykresy $y=2x+1$ oraz $y=2x-4$ są równoległe. Jeżeli współczynniki kierunkowe są różne, proste przecinają się w jednym punkcie.

W zadaniach praktycznych współczynnik $a$ zwykle opisuje zmianę wielkości na jedną jednostkę, np. koszt za kilometr, zarobek za godzinę lub przyrost temperatury w ciągu godziny. Wyraz wolny $b$ oznacza wartość początkową, np. opłatę startową albo stan na początku obserwacji.

Przed zapisaniem wzoru warto ustalić: co oznacza argument $x$, co oznacza wartość funkcji oraz która informacja jest stała, a która zmienia się wraz z $x$.