Ciąg geometryczny: wyraz ogólny i suma

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym, gdy każdy jego wyraz, począwszy od drugiego, otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez tę samą liczbę. Tę liczbę nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy przez $q$.

Zależność rekurencyjna ma postać $a_{n+1}=a_n\cdot q$. Nie opisuje ona od razu dowolnego wyrazu, lecz pokazuje sposób przejścia od jednego wyrazu do następnego.

Jeżeli $q>1$ i wyrazy są dodatnie, kolejne wyrazy rosną. Gdy $0<q<1$, dodatnie wyrazy maleją. Iloraz ujemny powoduje naprzemienną zmianę znaków. Przy $q=1$ otrzymujemy ciąg stały.

Aby obliczyć wyraz o dowolnym numerze, korzystamy ze wzoru ogólnego: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Liczba $a_1$ jest pierwszym wyrazem ciągu, a wykładnik $n-1$ oznacza liczbę przejść od pierwszego wyrazu do wyrazu o numerze $n$.

Dla kolejnych wyrazów otrzymujemy: $a_2=a_1\cdot q$, $a_3=a_1\cdot q^2$ oraz $a_4=a_1\cdot q^3$. Warto zauważyć, że dla $n=1$ potęga wynosi $0$, więc wzór daje poprawnie $a_1=a_1\cdot q^0$.

Jeśli znasz dwa wyrazy, możesz wykorzystać zależność $a_m=a_k\cdot q^{m-k}$. Pozwala ona połączyć wyrazy bez konieczności wcześniejszego wyznaczania $a_1$.

Przez sumę początkowych wyrazów rozumiemy liczbę $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$. Dla ilorazu różnego od $1$ stosujemy wzór $S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$. Równoważny zapis to $S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$.

Ważne jest poprawne podstawienie trzech danych: pierwszego wyrazu $a_1$, ilorazu $q$ i liczby sumowanych wyrazów $n$. Nie należy mylić sumy $S_n$ z wyrazem $a_n$: pierwszy symbol oznacza dodawanie wielu wyrazów, drugi tylko jeden wyraz.

Jeśli $q=1$, wzór ułamkowy nie działa, ponieważ jego mianownik jest równy zeru. Wszystkie wyrazy są wtedy równe $a_1$, zatem $S_n=n\cdot a_1$.

W zadaniu najpierw ustal, jakie informacje podano: pierwszy wyraz, iloraz, numer wyrazu albo liczbę składników sumy. Następnie wybierz właściwy wzór. Do pojedynczego wyrazu używaj $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, a do sumy $S_n$ wzoru na sumę.

Gdy w treści podano kolejne wyrazy, iloraz oblicz jako $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, o ile dzielnik jest różny od zera. Potem warto sprawdzić, czy ten sam iloraz występuje dla następnej pary wyrazów.

W zadaniach praktycznych ciąg geometryczny opisuje między innymi procent składany, zmniejszanie wartości o stały procent oraz wielkości, które w każdym kroku są mnożone przez ten sam czynnik. Na przykład coroczny wzrost kapitału o $5\%$ oznacza mnożenie go w każdym roku przez $1,05$.

Częsty błąd polega na użyciu $q^n$ zamiast $q^{n-1}$ albo na zastosowaniu wzoru na sumę dla $q=1$. Po obliczeniach sprawdź, czy znak i przybliżona wielkość wyniku pasują do zachowania ciągu.