Nierówności kwadratowe metodą paraboli

Nierówność kwadratowa zawiera trójmian postaci $ax^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$. Może mieć postać $ax^2+bx+c>0$, $ax^2+bx+c\geq 0$, $ax^2+bx+c<0$ albo $ax^2+bx+c\leq 0$. Jej rozwiązaniem nie jest zwykle pojedyncza liczba, lecz zbiór liczb rzeczywistych zapisany jako przedział lub suma przedziałów.

Metoda paraboli polega na interpretacji wyrażenia jako funkcji $f(x)=ax^2+bx+c$. Trzeba ustalić, dla jakich argumentów wykres funkcji znajduje się nad osią $x$, na osi albo pod osią. Nad osią zachodzi $f(x)>0$, na osi $f(x)=0$, a pod osią $f(x)<0$.

Granice przedziałów rozwiązań wyznaczają miejsca zerowe funkcji, czyli rozwiązania równania $ax^2+bx+c=0$. Można je obliczyć za pomocą wyróżnika $\Delta=b^2-4ac$ oraz wzoru $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, gdy $\Delta\geq 0$.

Znak wyróżnika $\Delta$ wskazuje liczbę punktów przecięcia paraboli z osią $x$:

• gdy $\Delta>0$, istnieją dwa różne miejsca zerowe $x_1<x_2$;
• gdy $\Delta=0$, istnieje jedno miejsce zerowe $x_0$;
• gdy $\Delta<0$, funkcja nie ma miejsc zerowych.

Przy dwóch miejscach zerowych warto czasem rozłożyć trójmian na iloczyn, na przykład $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Nie jest to jednak konieczne: najważniejsze są wartości miejsc zerowych i znak współczynnika $a$.

O znaku funkcji decyduje położenie paraboli, a przede wszystkim znak współczynnika $a$. Jeżeli $a>0$, ramiona paraboli są skierowane w górę. Przy dwóch miejscach zerowych funkcja jest dodatnia na zewnątrz, a ujemna między nimi.

Jeżeli $a<0$, ramiona są skierowane w dół. Wtedy przy dwóch miejscach zerowych funkcja jest dodatnia między nimi, a ujemna na zewnątrz.

Nie wolno mechanicznie wybierać przedziału między pierwiastkami. Wybór zależy jednocześnie od znaku nierówności oraz od tego, czy parabola ma ramiona skierowane w górę czy w dół.

Gdy $\Delta=0$, parabola styka się z osią $x$ w jednym punkcie $x_0$. Jeżeli $a>0$, to $f(x)\geq 0$ dla wszystkich liczb rzeczywistych, a $f(x)<0$ nie ma rozwiązań. Dla $a<0$ sytuacja jest odwrotna: $f(x)\leq 0$ dla każdego $x$.

Gdy $\Delta<0$, parabola w ogóle nie przecina osi $x$. Funkcja zachowuje więc jeden znak dla wszystkich argumentów: jest dodatnia, gdy $a>0$, albo ujemna, gdy $a<0$. To pozwala szybko rozstrzygnąć, czy rozwiązaniem jest $\mathbb{R}$, czy zbiór pusty $\varnothing$.

Znaki ostre $>$ oraz $<$ nie obejmują miejsc zerowych, ponieważ w tych punktach wartość trójmianu jest równa $0$. Stosuje się wtedy nawiasy okrągłe, na przykład $(1,3)$.

Znaki nieostre $\geq$ oraz $\leq$ obejmują miejsca zerowe. Zapisujemy wtedy nawiasy kwadratowe, na przykład $[1,3]$. Jeżeli rozwiązania leżą po obu stronach przedziału, używamy sumy zbiorów, np. $(-\infty,1]\cup[3,\infty)$.

Symboli $-\infty$ i $\infty$ nigdy nie obejmuje się nawiasem kwadratowym, ponieważ nie są liczbami należącymi do przedziału.

Stosuj stały schemat:

• sprowadź nierówność do postaci $ax^2+bx+c\;\text{znak}\;0$;
• wyznacz miejsca zerowe lub zbadaj znak $\Delta$;
• ustal kierunek ramion na podstawie znaku $a$;
• wybierz obszary, w których funkcja ma wymagany znak;
• dołącz albo wyklucz miejsca zerowe zgodnie ze znakiem nierówności.

Rozważmy $-x^2+4x-3>0$. Miejsca zerowe to $1$ i $3$, zaś $a=-1$, więc ramiona są skierowane w dół. Parabola leży nad osią $x$ między miejscami zerowymi. Ponieważ nierówność jest ostra, rozwiązaniem jest $(1,3)$.

W zadaniach maturalnych szczególnie kontroluj dwa błędy: pomijanie znaku $a$ oraz dołączanie miejsc zerowych mimo znaku $>$ albo $<$.