Ciąg arytmetyczny: wyraz n-ty i suma

Ciąg to uporządkowany zestaw liczb, których kolejne elementy oznaczamy przez $a_1$, $a_2$, $a_3$ i tak dalej. Ciąg arytmetyczny charakteryzuje się tym, że między kolejnymi wyrazami występuje zawsze taka sama zmiana.

Tę stałą zmianę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą $r$. Można ją wyznaczyć ze wzoru $r=a_{n+1}-a_n$. Aby sprawdzić, czy podany ciąg jest arytmetyczny, obliczamy różnice między kolejnymi wyrazami. Wszystkie muszą być równe.

Jeżeli $r>0$, ciąg jest rosnący. Gdy $r<0$, jest malejący, a gdy $r=0$, jest stały. Znak różnicy, a nie znak pierwszego wyrazu, decyduje o tej własności.

Kolejne wyrazy można tworzyć rekurencyjnie: $a_{n+1}=a_n+r$. Ten zapis mówi, jak otrzymać następny wyraz z poprzedniego, ale przy dalekich indeksach wygodniejszy jest wzór ogólny.

Dla ciągu arytmetycznego zachodzi $a_n=a_1+(n-1)r$. Symbol $a_1$ oznacza pierwszy wyraz, $n$ jest numerem szukanego wyrazu, a $r$ to różnica. Czynnik $n-1$ wynika z tego, że od pierwszego wyrazu do wyrazu o numerze $n$ wykonujemy dokładnie $n-1$ przejść.

Jeśli znamy dwa niekolejne wyrazy, można ułożyć równania z wzoru ogólnego. Na przykład z danych $a_3$ i $a_8$ da się wyznaczyć $a_1$ oraz $r$.

Przez $S_n$ rozumiemy sumę pierwszych $n$ wyrazów: $S_n=a_1+a_2+...+a_n$. W ciągu arytmetycznym nie trzeba dodawać każdego składnika osobno, ponieważ wyrazy położone symetrycznie od końców mają tę samą sumę.

Podstawowy wzór ma postać $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$. Jest to liczba składników pomnożona przez średnią arytmetyczną pierwszego i ostatniego wyrazu. Gdy nie znamy $a_n$, używamy wzoru $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)r]$.

Przed wyborem wzoru sprawdź, jakie dane podano w zadaniu. Gdy znane są $a_1$, $a_n$ i $n$, najkrótszy jest pierwszy wzór na sumę. Gdy znane są $a_1$, $r$ i $n$, można użyć drugiego.

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi zależność $2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$. Oznacza to, że wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiadów. Własność ta przyspiesza rozwiązywanie zadań z trzema kolejnymi liczbami.

W zadaniach tekstowych najpierw ustal, co oznaczają: pierwszy wyraz $a_1$, różnica $r$ i liczba wyrazów $n$. Następnie zdecyduj, czy pytanie dotyczy wartości jednego elementu, wtedy liczysz $a_n$, czy łącznej wartości wielu elementów, wtedy liczysz $S_n$.

Typowe zastosowania to liczba miejsc w kolejnych rzędach, regularnie rosnące oszczędności, numeracja, układanie przedmiotów w rzędach oraz suma kolejnych liczb naturalnych. Jednostki zachowuj w odpowiedzi: gdy wyrazy oznaczają złote lub miejsca, suma również powinna mieć odpowiednią interpretację.