Równania kwadratowe: wyróżnik i pierwiastki

Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci $ax^2+bx+c=0$, gdzie $a$, $b$ i $c$ są liczbami rzeczywistymi, przy czym koniecznie $a\ne0$. Warunek ten jest istotny: gdyby $a=0$, wyraz z $x^2$ zniknąłby i równanie nie byłoby kwadratowe.

Lewa strona równania, czyli wyrażenie $ax^2+bx+c$, to trójmian kwadratowy. Współczynnik $a$ odczytujemy przy $x^2$, współczynnik $b$ przy $x$, a $c$ jest wyrazem wolnym. Znaki współczynników są częścią ich wartości.

W wielu zadaniach równanie nie jest od razu zapisane w postaci ogólnej. Należy wtedy wykonać działania, przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę i po drugiej stronie pozostawić zero. Dopiero z tak otrzymanej postaci poprawnie odczytuje się współczynniki.

Do ustalenia liczby rozwiązań równania kwadratowego stosujemy wyróżnik oznaczany przez $\Delta$. Obliczamy go według wzoru $\Delta=b^2-4ac$.

W obliczeniach szczególnej uwagi wymaga podstawienie współczynnika $b$ wraz z jego znakiem. Jeżeli $b=-5$, to we wzorze zapisujemy $(-5)^2$, a nie $-5^2$. Nawias pokazuje, że podnosimy do kwadratu całą liczbę ujemną.

Znak delty decyduje o liczbie pierwiastków rzeczywistych:

• gdy $\Delta>0$, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste;
• gdy $\Delta=0$, równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty, zwany podwójnym;
• gdy $\Delta<0$, równanie nie ma pierwiastków w zbiorze liczb rzeczywistych.

Jeżeli $\Delta>0$, korzystamy z dwóch wzorów: $x_1=(-b-\sqrt{\Delta})/(2a)$ oraz $x_2=(-b+\sqrt{\Delta})/(2a)$. Różnią się one wyłącznie znakiem przed $\sqrt{\Delta}$.

Jeżeli $\Delta=0$, oba wzory dałyby tę samą wartość. Zapisujemy wtedy jeden pierwiastek: $x_0=-b/(2a)$.

Przy stosowaniu wzorów trzeba pamiętać, że licznik obejmuje całe wyrażenie $-b\pm\sqrt{\Delta}$, natomiast mianownikiem jest całe $2a$. Częsty błąd polega na dzieleniu tylko pierwiastka z delty przez $2a$ albo na niezastosowaniu znaku przeciwnego do znaku współczynnika $b$.

W typowym zadaniu warto pracować według stałego schematu. Najpierw sprowadź równanie do postaci ogólnej $ax^2+bx+c=0$. Następnie odczytaj $a$, $b$ i $c$, nie gubiąc znaków. Oblicz deltę, oceń jej znak i dopiero wtedy wyznacz pierwiastki albo zapisz, że ich nie ma w zbiorze liczb rzeczywistych.

Przykładowo z równania $3x^2=6x+9$ otrzymujemy $3x^2-6x-9=0$. Stąd $a=3$, $b=-6$, $c=-9$. Delta wynosi $(-6)^2-4\cdot3\cdot(-9)=144$, więc istnieją dwa różne rozwiązania.

Na końcu dobrze jest wykonać sprawdzenie: podstawienie otrzymanej liczby za $x$ do równania powinno dać prawdziwą równość. Jest to szczególnie przydatne, gdy rachunki zawierały liczby ujemne lub ułamki.

W zadaniach maturalnych wyróżnik służy nie tylko do bezpośredniego rozwiązywania równań. Może pozwolić określić, ile rozwiązań ma dane równanie, dobrać wartość współczynnika albo uzasadnić brak rozwiązań rzeczywistych.

Jeśli zadanie pyta, kiedy równanie ma dokładnie jeden pierwiastek, należy przyjąć warunek $\Delta=0$. Gdy ma mieć dwa różne rozwiązania, wymagamy $\Delta>0$. Brak rozwiązań rzeczywistych odpowiada warunkowi $\Delta<0$.

W równaniu z literą, na przykład $x^2+mx+9=0$, współczynnik $m$ traktuje się podczas liczenia delty jak $b$. Warunek jednego pierwiastka prowadzi do równania $m^2-36=0$, z którego otrzymujemy $m=6$ lub $m=-6$.

W odpowiedzi zawsze podawaj zbiór rozwiązań zgodny z wynikiem: dwa pierwiastki, jeden pierwiastek albo informację o braku rozwiązań rzeczywistych.