Prawdopodobieństwo w prostych doświadczeniach losowych

Doświadczenie losowe to taka czynność, której wyniku nie da się przewidzieć z całkowitą pewnością przed jej wykonaniem. Wiemy jednak, jakie wyniki są możliwe. To ważna cecha: wynik jest niepewny, ale nie jest dowolny.

Przykładami takich doświadczeń są rzut monetą, rzut kostką i losowanie kuli z worka. Każde z nich może dać różne rezultaty, ale wszystkie te rezultaty da się wcześniej wypisać.

Nie każda czynność jest doświadczeniem losowym. Jeśli obliczamy $2+3$, to wynik zawsze będzie taki sam. To nie jest losowanie ani sytuacja zależna od przypadku.

Wynik doświadczenia to jeden konkretny rezultat. Dla monety wynikiem może być orzeł albo reszka. Dla kostki wynikiem może być jedna z liczb od $1$ do $6$.

Zdarzenie losowe to sytuacja związana z doświadczeniem, która może zajść albo nie. Zdarzenie może dotyczyć jednego wyniku albo kilku wyników naraz.

Na przykład przy rzucie kostką zdarzenie „wypadnie liczba parzysta” obejmuje wyniki $2$, $4$ i $6$. Mówimy, że są to wyniki sprzyjające temu zdarzeniu. Jeśli wypadnie jeden z nich, zdarzenie zajdzie.

Warto umieć odróżnić pojedynczy wynik od zdarzenia. Wynik to konkret, na przykład „$5$”. Zdarzenie bywa szersze, na przykład „wypadnie liczba większa niż $4$”, czyli $5$ lub $6$.

Zdarzenie pewne to takie, które zajdzie zawsze. W rzucie zwykłą kostką pewne jest zdarzenie „wypadnie liczba od $1$ do $6$”, bo innych wyników ta kostka nie daje.

Zdarzenie niemożliwe to takie, które nie może zajść. Dla tej samej kostki niemożliwe jest zdarzenie „wypadnie $7$” albo „wypadnie $0$”.

Między zdarzeniem pewnym a niemożliwym są zdarzenia, które czasem zachodzą, a czasem nie. Na przykład „wypadnie liczba parzysta” nie jest ani pewne, ani niemożliwe.

Prawdopodobieństwo mówi, jak duża jest szansa zajścia zdarzenia. W prostych doświadczeniach, gdy wszystkie wyniki mają takie same szanse, używamy wzoru:

$$P=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich możliwych wyników}}$$

Najpierw trzeba więc ustalić dwie rzeczy: wszystkie możliwe wyniki oraz wyniki sprzyjające danemu zdarzeniu. Dopiero potem zapisujemy odpowiedni ułamek.

Dla zdarzenia „wyrzucenie $6$” na kostce jest $1$ wynik sprzyjający i $6$ wszystkich wyników, więc prawdopodobieństwo wynosi $\frac{1}{6}$. Dla zdarzenia „wyrzucenie liczby parzystej” są $3$ wyniki sprzyjające: $2$, $4$, $6$, więc otrzymujemy $\frac{3}{6}$.

Przy rzucie monetą są $2$ możliwe wyniki: orzeł i reszka. Jeśli pytamy o prawdopodobieństwo orła, to mamy $1$ wynik sprzyjający z $2$, czyli $\frac{1}{2}$.

Przy rzucie kostką mamy $6$ możliwych wyników. Dla zdarzenia „wypadnie liczba większa niż $4$” wynikami sprzyjającymi są $5$ i $6$, więc prawdopodobieństwo wynosi $\frac{2}{6}$.

Przy losowaniu kul trzeba policzyć wszystkie kule oraz kule pasujące do zdarzenia. Jeśli w worku są $4$ czerwone i $1$ niebieska kula, to wszystkich kul jest $5$. Prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli wynosi więc $\frac{1}{5}$.

Prawdopodobieństwo zawsze jest liczbą od $0$ do $1$. Nie może być ujemne i nie może być większe niż $1$. Im bliżej $1$, tym większa szansa zajścia zdarzenia.

Trzeba uważać, by nie mylić liczby wyników sprzyjających z liczbą wszystkich wyników. W mianowniku zawsze wpisujemy wszystkie możliwe wyniki doświadczenia, a w liczniku tylko te, które pasują do zdarzenia.

Częsty błąd polega też na złym odczytaniu treści. Gdy pytanie dotyczy liczby parzystej, trzeba wypisać dokładnie liczby parzyste. Gdy dotyczy liczby większej niż $4$, wynik $4$ już się nie liczy.

Dobrze jest po obliczeniu sprawdzić, czy wynik ma sens. Jeśli wyszło prawdopodobieństwo większe niż $1$, to znaczy, że gdzieś popełniono błąd w liczeniu albo w zapisaniu ułamka.