Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Mnożenie i dzielenie to dwa bardzo ważne działania na liczbach naturalnych. Używamy ich na co dzień: przy liczeniu pieniędzy, pakowaniu przedmiotów do pudełek, dzieleniu słodyczy czy obliczaniu ceny kilku takich samych rzeczy.

Mnożenie można rozumieć jako szybkie dodawanie takich samych liczb. Na przykład $5 \cdot 4$ oznacza pięć razy po cztery, czyli $4 + 4 + 4 + 4 + 4$. Wynik mnożenia nazywamy iloczynem.

Dzielenie oznacza rozdzielanie na równe części albo sprawdzanie, ile razy jedna liczba mieści się w drugiej. Na przykład $20 : 5 = 4$, bo z $20$ elementów można zrobić $5$ równych grup po $4$. Wynik dzielenia to iloraz.

W rachunku pamięciowym ważna jest dobra znajomość tabliczki mnożenia i sprytne rozkładanie liczb. Dzięki temu można liczyć szybciej i łatwiej.

Gdy liczba jest większa, warto rozłożyć ją na prostsze części. Na przykład:

• $6 \cdot 12 = 6 \cdot 10 + 6 \cdot 2$
• $4 \cdot 25 = 2 \cdot 50 = 100$
• $90 : 3 = 30$, bo $9 : 3 = 3$, a potem dopisujemy zero

Przy mnożeniu przez $10$, $100$ i $1000$ wynik szybko rośnie. Na przykład:

• $7 \cdot 10 = 70$
• $23 \cdot 100 = 2300$

Przy dzieleniu przez $10$ lub $100$ liczba staje się mniejsza, jeśli dzielenie jest dokładne. Na przykład:

• $80 : 10 = 8$
• $300 : 100 = 3$

Mnożenie pisemne stosujemy wtedy, gdy liczby są większe i trudno policzyć wszystko w pamięci. Najpierw mnożymy kolejne cyfry, potem zapisujemy wyniki pod sobą i dodajemy.

Dla przykładu w działaniu $23 \cdot 4$:

• mnożymy $4 \cdot 3 = 12$, zapisujemy $2$, a $1$ przenosimy
• mnożymy $4 \cdot 2 = 8$ i dodajemy przeniesione $1$, czyli mamy $9$
• wynik to $92$

Przy mnożeniu przez liczbę dwucyfrową liczymy kilka iloczynów częściowych. Na przykład przy $34 \cdot 12$ mnożymy osobno przez $2$ i osobno przez $10$, a potem dodajemy otrzymane wyniki.

Ważna jest staranność zapisu, dobre ustawienie cyfr pod sobą i pamiętanie o przeniesieniach. To pomaga uniknąć pomyłek.

Dzielenie pisemne wykonujemy etapami. Sprawdzamy, ile razy dzielnik mieści się w kolejnych częściach dzielnej, zapisujemy cyfrę wyniku, mnożymy i odejmujemy.

Przykład: $84 : 7 = 12$.

• w $8$ liczba $7$ mieści się $1$ raz
• odejmujemy $7$ i zostaje $1$
• sprowadzamy $4$, otrzymujemy $14$
• w $14$ liczba $7$ mieści się $2$ razy
• wynik to $12$

Czasem nie da się podzielić dokładnie. Wtedy mamy dzielenie z resztą. Na przykład $17 : 5 = 3$ reszty $2$, bo $17 = 5 \cdot 3 + 2$.

W obliczeniach trzeba pamiętać o kolejności działań. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem mnożenie i dzielenie, a dopiero na końcu dodawanie i odejmowanie.

Na przykład w wyrażeniu $24 - 3 \cdot 5$ nie wolno najpierw liczyć $24 - 3$. Najpierw obliczamy $3 \cdot 5 = 15$, a potem $24 - 15 = 9$.

Bardzo ważne jest też sprawdzanie wyniku. Dzielenie można sprawdzić mnożeniem. Jeśli wyszło $96 : 8 = 12$, to sprawdzamy, czy $8 \cdot 12 = 96$. To prosty sposób na wykrycie błędu.

W zadaniach tekstowych zawsze warto zastanowić się, czy wynik ma sens. Jeśli ktoś podzielił $48$ cukierków dla $6$ dzieci i wyszło mu $80$, to wiadomo, że popełnił błąd, bo wynik jest większy niż liczba wszystkich cukierków.