Graniastosłupy: rodzaje, objętość i pole powierzchni

Graniastosłup to bryła, która ma dwie jednakowe podstawy leżące w równoległych płaszczyznach. Podstawy są takimi samymi wielokątami, a ściany między nimi to ściany boczne. To właśnie kształt podstawy decyduje o nazwie bryły: mówimy o graniastosłupie trójkątnym, czworokątnym, pięciokątnym i tak dalej.

W graniastosłupie wyróżniamy wierzchołki, krawędzie podstaw, krawędzie boczne oraz ściany. Jeśli bryła „stoi prosto”, czyli krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, mamy graniastosłup prosty. W szkolnych zadaniach najczęściej liczymy właśnie takie graniastosłupy.

Graniastosłupy można podzielić przede wszystkim według kształtu podstawy. Jeśli w podstawie jest trójkąt, to jest to graniastosłup trójkątny. Jeśli kwadrat, prostokąt albo inny czworokąt, to graniastosłup czworokątny.

Ważny jest też podział na graniastosłupy proste i inne graniastosłupy. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami, a wysokość jest równa długości krawędzi bocznej. Szczególnym przypadkiem jest graniastosłup prawidłowy. Jest on prosty, a w podstawie ma wielokąt foremny, na przykład kwadrat albo trójkąt równoboczny.

W zadaniach trzeba umieć rozpoznać podstawowe elementy. Podstawa to jedna z dwóch jednakowych figur. Wysokość to odległość między podstawami. Nie zawsze jest to „ukośna” krawędź na rysunku — wysokość mierzymy prostopadle.

Pole podstawy oznaczamy zwykle jako $P_p$. To pole jednej dolnej lub górnej figury. Pole boczne to suma pól wszystkich ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian całej bryły.

Dobrze jest też patrzeć na siatkę graniastosłupa. Po rozłożeniu bryły widzimy dwie podstawy i pasek ścian bocznych. Dzięki temu łatwo zrozumieć, skąd biorą się wzory na pole powierzchni.

Objętość mówi, ile miejsca jest wewnątrz bryły. Dla graniastosłupa liczymy ją bardzo prosto:

$$V=P_p\cdot h$$

To znaczy: bierzemy pole podstawy i mnożymy przez wysokość.

Jeżeli podstawa ma pole $12\ cm^2$, a wysokość wynosi $5\ cm$, to objętość jest równa $60\ cm^3$. Najpierw zawsze trzeba dobrze policzyć pole podstawy, bo bez tego nie da się obliczyć objętości.

W graniastosłupie prostym często najpierw obliczamy pole boczne. Korzystamy wtedy z zależności:

$$P_b=Ob\cdot h$$

Tutaj $Ob$ oznacza obwód podstawy, a $h$ — wysokość bryły. Ten wzór działa wygodnie dlatego, że ściany boczne są prostokątami.

Pole powierzchni całkowitej obliczamy ze wzoru:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Są tu dwie podstawy, więc pojawia się $2P_p$, a potem dodajemy pole wszystkich ścian bocznych.

Najczęstszy plan działania jest prosty. Najpierw ustal, jaki to rodzaj graniastosłupa i jaką figurę ma w podstawie. Potem policz pole podstawy i ewentualnie obwód podstawy. Na końcu wybierz odpowiedni wzór: do objętości albo do pola powierzchni.

Warto pilnować jednostek. Pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych, na przykład $cm^2$, a objętość w sześciennych, na przykład $cm^3$. Jeśli wynik dotyczy całej bryły, nie można podać go w zwykłych centymetrach.

Częsty błąd to pomylenie wzorów. Wzór $P_p\cdot h$ daje objętość, a nie pole boczne. Z kolei $Ob\cdot h$ daje pole boczne, a nie objętość. Dobrze też pamiętać, że w polu całkowitym liczymy obie podstawy, a nie tylko jedną.