Pole koła

Koło to część płaszczyzny ograniczona przez okrąg. Gdy mówimy o polu koła, chodzi nam o wielkość całej powierzchni „w środku”, a nie długość brzegu. Brzegiem koła jest właśnie okrąg.

Najważniejszym odcinkiem w zadaniach o polu koła jest promień. To odcinek od środka koła do punktu na okręgu. Oprócz niego często pojawia się też średnica, czyli odcinek łączący dwa punkty okręgu i przechodzący przez środek.

Pole koła zależy od długości promienia. Im większy promień, tym większe pole. W zadaniach trzeba uważnie sprawdzać, czy podana jest długość promienia, czy średnicy, bo do wzoru na pole podstawiamy promień.

Pole koła obliczamy ze wzoru $P=\pi r^2$. Litera $P$ oznacza pole, $r$ promień, a $\pi$ to stała liczba pojawiająca się we wzorach związanych z kołem.

W praktyce szkolnej wynik można zapisać na dwa sposoby:

• dokładnie, na przykład $16\pi\ cm^2$,
• w przybliżeniu, na przykład po przyjęciu $\pi \approx 3{,}14$.

Bardzo ważna jest kolejność działań. Najpierw obliczamy $r^2$, czyli promień podnosimy do kwadratu, a dopiero potem mnożymy przez $\pi$.

W wielu zadaniach nie podaje się promienia, tylko średnicę. Trzeba wtedy skorzystać z zależności $d=2r$, czyli $r=\frac{d}{2}$.

Dopiero po obliczeniu promienia możemy zastosować wzór na pole. Na przykład gdy średnica wynosi $10\ cm$, promień ma długość $5\ cm$. Wtedy pole to $P=\pi\cdot 5^2=25\pi\ cm^2$.

Częsty błąd polega na wstawieniu średnicy od razu w miejsce promienia. Jeśli w zadaniu podano $d$, nie wolno liczyć $P=\pi d^2$, bo to daje błędny wynik.

Pole figury zawsze zapisujemy w jednostkach kwadratowych. Mogą to być na przykład $mm^2$, $cm^2$, $dm^2$, $m^2$ albo $km^2$.

Jeśli promień jest podany w centymetrach, to pole wyjdzie w $cm^2$. Jeśli promień podano w metrach, wynik zapisujemy w $m^2$. Trzeba uważać, by nie pomylić pola z długością.

Na przykład zapis $12\ cm$ nie może być wynikiem pola, bo to jednostka długości. Wynik pola musi mieć „do kwadratu”.

We wzorze występuje $r^2$, więc pole nie rośnie tak samo jak promień, tylko szybciej. To znaczy, że gdy promień zwiększy się $2$ razy, pole zwiększy się $4$ razy. Gdy promień zwiększy się $3$ razy, pole zwiększy się $9$ razy.

Podobnie działa zmniejszanie. Jeśli promień zmaleje o połowę, to pole stanie się $4$ razy mniejsze. Warto o tym pamiętać w zadaniach porównawczych, nawet gdy nie trzeba liczyć dokładnych wartości.

Ta własność pomaga szybko porównywać koła. Koło o większym promieniu zawsze ma większe pole, ale różnica pól zależy od kwadratu promienia, a nie tylko od samej różnicy długości.

Przy zadaniach o polu koła najlepiej działać według prostego planu:

• odczytaj, czy podano promień czy średnicę,
• jeśli trzeba, oblicz promień ze wzoru $r=\frac{d}{2}$,
• podstaw dane do wzoru $P=\pi r^2$,
• zapisz wynik z poprawną jednostką.

Najczęstsze błędy to:

• podstawienie średnicy zamiast promienia,
• brak podniesienia promienia do kwadratu,
• zapisanie wyniku bez jednostki kwadratowej,
• pomylenie pola koła z długością okręgu.

Gdy zadanie pozwala, warto zostawić wynik z $\pi$, bo jest dokładniejszy. Gdy trzeba podać przybliżenie, zwykle przyjmujemy $\pi \approx 3{,}14$ i wykonujemy zwykłe obliczenia.