÷×

Długość okręgu

Matematyka

Zestaw pomaga opanować obliczanie długości okręgu z promienia i średnicy oraz wyznaczanie promienia albo średnicy, gdy znamy obwód. Znajdziesz tu też ważne pojęcia, jednostki i typowe zadania z życia codziennego.

10 fiszek16 pytań · 2 etapynotatkaSzkoła podstawowa

Pobierz test do druku

1.okrąg

Okrąg to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które są w tej samej odległości od jednego punktu zwanego środkiem. Ta stała odległość to promień.

2.koło

Koło to część płaszczyzny ograniczona okręgiem. Zawiera wnętrze i brzeg. Gdy liczymy długość okręgu, chodzi o brzeg koła, a nie o jego pole.

3.środek okręgu

To punkt, od którego wszystkie punkty okręgu są jednakowo oddalone. Z tego punktu wyznaczamy promień i średnicę.

4.promień $r$

Promień to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem okręgu. Jest równy połowie średnicy. Zależność: $d=2r$ .

5.średnica $d$

Średnica to odcinek łączący dwa punkty okręgu i przechodzący przez środek. Jest dwa razy dłuższa od promienia. Zależność: $d=2r$ .

6.długość okręgu

Długość okręgu to długość jego brzegu, czyli obwód okręgu. Można ją obliczyć ze wzorów: $L=2\pi r$ albo $L=\pi d$ .

7.liczba $\pi$

Liczba $\pi$ to stała matematyczna występująca w obliczeniach związanych z okręgiem. W przybliżeniu $\pi \approx 3{,}14$ . Dokładniejsza wartość ma nieskończenie wiele cyfr po przecinku.

8.wzór $L=2\pi r$

Tego wzoru używamy, gdy znamy promień okręgu. Mnożymy promień przez $2$ i przez $\pi$ , aby otrzymać długość okręgu.

9.wzór $L=\pi d$

Tego wzoru używamy, gdy znamy średnicę okręgu. Wystarczy pomnożyć średnicę przez $\pi$ , aby otrzymać długość okręgu.

10.jednostki długości okręgu

Długość okręgu wyrażamy w jednostkach długości, na przykład w mm, cm, m lub km. Nie używamy tu jednostek pola, takich jak $cm^2$ .

Notatka

Co to jest okrąg i długość okręgu

Okrąg to zbiór punktów jednakowo oddalonych od jednego punktu, czyli od środka. Ta stała odległość to promień. Trzeba odróżniać okrąg od koła: okrąg to tylko brzeg, a koło to cała figura razem z wnętrzem.

Długość okręgu to długość jego brzegu. Można powiedzieć też: obwód okręgu. To właśnie tę wielkość obliczamy w zadaniach.

Ważne

Nie myl długości okręgu z polem koła. Długość dotyczy brzegu, a pole dotyczy powierzchni wewnątrz.

Promień, średnica i liczba $\pi$

Promień oznaczamy zwykle literą $r$ . Jest to odcinek od środka okręgu do punktu leżącego na okręgu. Średnica ma oznaczenie $d$ i łączy dwa punkty okręgu, przechodząc przez środek.

Najważniejsza zależność to:

$d=2r$
$r=\frac{d}{2}$

W obliczeniach pojawia się liczba $\pi$ . Jest to stała matematyczna związana z każdym okręgiem. W zadaniach szkolnych najczęściej przyjmujemy $\pi \approx 3{,}14$ . Czasem wynik zostawia się z symbolem $\pi$ , na przykład $12\pi\ cm$ .

Zapamiętaj

Średnica jest dwa razy większa od promienia, a promień jest połową średnicy.

Wzory na długość okręgu

Długość okręgu obliczamy z jednego z dwóch równoważnych wzorów:

$L=2\pi r$
$L=\pi d$

Pierwszy wzór stosujemy, gdy znamy promień. Drugi wzór jest wygodny, gdy podana jest średnica. Oba wzory dają ten sam wynik, bo średnica to $2r$ .

Jeżeli w zadaniu trzeba podać wynik dokładny, zostawiamy $\pi$ w odpowiedzi, na przykład $18\pi\ m$ . Jeżeli trzeba podać wynik przybliżony, podstawiamy za $\pi$ liczbę $3{,}14$ i wykonujemy obliczenia.

Przykład

Gdy $r=4\ cm$ , to $L=2\pi r=2\pi \cdot 4=8\pi\ cm$ , czyli w przybliżeniu $25{,}12\ cm$ .

Jak obliczać długość okręgu krok po kroku

Najpierw sprawdź, czy w zadaniu podano promień czy średnicę. Potem wybierz odpowiedni wzór. Następnie podstaw dane i oblicz wynik.

Jeżeli znasz promień:

zapisz wzór $L=2\pi r$
podstaw wartość promienia
oblicz wynik

Jeżeli znasz średnicę:

zapisz wzór $L=\pi d$
podstaw wartość średnicy
oblicz wynik

Warto też zwracać uwagę na jednostki. Długość okręgu podajemy w jednostkach długości, na przykład w cm, m albo km. Nie używamy tu jednostek pola, takich jak $cm^2$ .

Jak wyznaczać promień lub średnicę z długości okręgu

Czasem w zadaniu podana jest długość okręgu, a trzeba obliczyć promień albo średnicę. Wtedy korzystamy z tych samych wzorów, tylko „w drugą stronę”.

Jeśli chcesz znaleźć średnicę, użyj zależności:

$d=\frac{L}{\pi}$

Jeśli chcesz znaleźć promień, użyj zależności:

$r=\frac{L}{2\pi}$

Przykład: jeśli $L=20\pi\ cm$ , to średnica wynosi $d=\frac{20\pi}{\pi}=20\ cm$ , a promień $r=10\ cm$ .

To bardzo częsty typ zadania, więc warto ćwiczyć go razem z podstawianiem do wzorów.

Typowe błędy i zastosowania w praktyce

Najczęstszy błąd to pomylenie promienia ze średnicą. Jeśli w zadaniu podano średnicę, nie trzeba już mnożyć jej przez $2$ . Drugi częsty błąd to użycie wzoru na pole koła zamiast wzoru na długość okręgu.

Długość okręgu przydaje się w praktyce, na przykład przy kole roweru, talerzu, zegarze, studni albo okrągłym boisku. Gdy znamy długość jednego obrotu koła, możemy obliczać drogę, jaką przejedzie rower po kilku obrotach.

Warto pamiętać, że większy promień oznacza większą długość okręgu. Gdy promień lub średnica rosną, obwód okręgu też rośnie.

Ważne

Wynik długości okręgu zapisuj w jednostkach długości, na przykład $m$ lub $cm$ , a nie w $cm^2$ .