Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Ułamki zwykłe zapisujemy w postaci $\frac{a}{b}$, gdzie licznik jest na górze, a mianownik na dole. Mianownik mówi, na ile równych części podzielono całość, a licznik mówi, ile takich części bierzemy.

Przy działaniach na ułamkach bardzo przydaje się umiejętność skracania i rozszerzania ułamków. Skracanie polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę większą od $1$. Dzięki temu ułamek ma tę samą wartość, ale prostszą postać.

Warto też pamiętać, że każdą liczbę naturalną można zapisać jako ułamek o mianowniku $1$. Na przykład $4=\frac{4}{1}$. To ułatwia mnożenie i dzielenie ułamka przez liczbę.

Aby wykonać mnożenie ułamków zwykłych, mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Schemat jest prosty:

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$

Potem sprawdzamy, czy wynik da się skrócić. Na przykład:

$$\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$$

Można też skracać jeszcze przed mnożeniem. To bardzo wygodne, bo liczby są wtedy mniejsze. Jeśli licznik jednego ułamka i mianownik drugiego mają wspólny dzielnik, wolno je skrócić „na krzyż”.

Gdy mnożymy ułamek przez liczbę naturalną, zapisujemy tę liczbę jako ułamek z mianownikiem $1$. Na przykład:

$$\frac{3}{4}\cdot 2=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$

Dzielenie ułamków wygląda trochę inaczej niż mnożenie. Nie dzielimy licznika przez licznik i mianownika przez mianownik. Zamiast tego zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka.

Odwrotność ułamka otrzymujemy przez zamianę miejscami licznika i mianownika. Odwrotnością $\frac{3}{7}$ jest $\frac{7}{3}$.

Schemat dzielenia:

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$

Przykład:

$$\frac{4}{9}:\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{2}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$$

Tak samo postępujemy, gdy dzielimy ułamek przez liczbę naturalną. Najpierw zapisujemy liczbę jako ułamek, na przykład $2=\frac{2}{1}$, a potem odwracamy ten drugi ułamek.

Czasem w zadaniu pojawia się liczba mieszana, na przykład $2\frac{1}{3}$. Przed mnożeniem lub dzieleniem trzeba ją zamienić na ułamek niewłaściwy.

Przykład zamiany:

$$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

bo cała jedynka to $\frac{2}{2}$, a jeszcze dodajemy $\frac{1}{2}$.

Dopiero po takiej zamianie wykonujemy działanie. Na przykład:

$$1\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=1$$

To bardzo ważne, bo bez zamiany łatwo popełnić błąd. W zadaniach szkolnych często właśnie ten krok decyduje o poprawnym wyniku.

Podczas liczenia warto uważać na kilka typowych pomyłek. Pierwsza to nieodwrócenie drugiego ułamka przy dzieleniu. Jeśli mamy $\frac{2}{3}:\frac{4}{5}$, to nie liczymy $\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}$, tylko $\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}$.

Drugi błąd to brak skrócenia wyniku. Nawet jeśli działanie zostało wykonane dobrze, odpowiedź powinna być podana w najprostszej postaci, jeśli da się ją jeszcze skrócić.

Trzeci błąd dotyczy liczb mieszanych. Nie wolno od razu mnożyć lub dzielić zapisów takich jak $1\frac{1}{2}$ bez wcześniejszej zamiany na ułamek niewłaściwy.

Dobrze jest po obliczeniu spojrzeć, czy wynik ma sens. Jeśli mnożymy przez ułamek mniejszy od $1$, wynik zwykle będzie mniejszy. Jeśli dzielimy przez ułamek mniejszy od $1$, wynik często będzie większy.

Najlepiej ćwiczyć działania etapami. Najpierw rozpoznaj, czy w zadaniu jest mnożenie, czy dzielenie. Potem sprawdź, czy występują liczby mieszane albo czy można wykonać skracanie przed mnożeniem.

Dobra kolejność pracy:

• zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe,
• jeśli jest dzielenie, zamień je na mnożenie przez odwrotność,
• skróć, jeśli się da,
• pomnóż liczniki i mianowniki,
• skróć wynik końcowy.

Im częściej ćwiczysz na prostych przykładach, tym szybciej zauważysz, kiedy da się skrócić i jak uniknąć błędów. To dział bardzo logiczny: wystarczy pilnować kolejnych kroków.