NWD i NWW w praktyce

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą można podzielić daną liczbę bez reszty. Na przykład dzielnikami liczby $12$ są: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$.

Wielokrotność liczby to wynik mnożenia tej liczby przez liczby naturalne. Dla liczby $5$ będą to na przykład: $5$, $10$, $15$, $20$, $25$.

Ważna różnica jest taka, że dzielników danej liczby jest skończenie wiele, a wielokrotności jest bardzo dużo i można je wypisywać dalej bez końca.

Jeśli liczba jest dzielnikiem dwóch liczb naraz, to jest ich wspólnym dzielnikiem. Jeśli liczba jest wielokrotnością dwóch liczb naraz, to jest ich wspólną wielokrotnością.

NWD to największy wspólny dzielnik. Szukamy wtedy największej liczby, która dzieli obie liczby bez reszty. Na przykład dla liczb $12$ i $18$ wspólne dzielniki to $1$, $2$, $3$, $6$, więc $NWD(12,18)=6$.

NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność. Szukamy wtedy najmniejszej dodatniej liczby, która jest wielokrotnością obu liczb. Dla liczb $3$ i $4$ wspólne wielokrotności to $12$, $24$, $36$ i kolejne, więc $NWW(3,4)=12$.

W skrócie:

• NWD dotyczy dzielenia
• NWW dotyczy mnożenia i powtarzania
• przy NWD wybieramy liczbę największą
• przy NWW wybieramy liczbę najmniejszą

Najprostszy sposób na początku nauki to wypisywanie.

Aby znaleźć NWD, wypisz wszystkie dzielniki obu liczb i wybierz największy wspólny. Przykład dla $8$ i $12$:

• dzielniki $8$: $1$, $2$, $4$, $8$
• dzielniki $12$: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$
• wspólne: $1$, $2$, $4$
• więc $NWD(8,12)=4$

Aby znaleźć NWW, wypisz kolejne wielokrotności obu liczb i znajdź pierwszą wspólną. Przykład dla $4$ i $6$:

• wielokrotności $4$: $4$, $8$, $12$, $16$...
• wielokrotności $6$: $6$, $12$, $18$...
• pierwsza wspólna to $12$
• więc $NWW(4,6)=12$

Można też użyć rozkładu na czynniki pierwsze. To wygodne szczególnie przy większych liczbach.

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie. Przykłady to $2$, $3$, $5$, $7$. Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki, na przykład $4$, $6$, $8$, $9$.

Rozkład na czynniki pierwsze polega na zapisaniu liczby jako iloczynu liczb pierwszych. Na przykład:

• $12=2\cdot2\cdot3$
• $18=2\cdot3\cdot3$

Dzięki temu łatwiej znaleźć NWD i NWW.

Dla liczb $12$ i $18$:

• w obu rozkładach występują czynniki $2$ i $3$
• ich iloczyn to $2\cdot3=6$
• więc $NWD(12,18)=6$

Przy NWW bierzemy wszystkie potrzebne czynniki z obu rozkładów, tak aby niczego nie brakowało:

• z $12$ mamy $2\cdot2\cdot3$
• z $18$ potrzeba jeszcze jednego $3$
• więc $NWW(12,18)=2\cdot2\cdot3\cdot3=36$

NWD przydaje się wtedy, gdy chcemy coś podzielić na największe równe części bez reszty. To mogą być wstążki, klocki, cukierki albo odcinki.

NWW przydaje się wtedy, gdy coś powtarza się co pewien czas i chcemy wiedzieć, kiedy wydarzy się razem. Dotyczy to na przykład dzwonków, autobusów, światełek albo kroków w grze.

Warto też pamiętać, że:

• NWD pomaga w dzieleniu bez reszty
• NWW pomaga przy wspólnym powtarzaniu
• oba pojęcia dotyczą co najmniej dwóch liczb
• dobrze jest sprawdzić wynik, podstawiając go do zadania

Gdy rozwiązujesz zadanie tekstowe, najpierw zastanów się: czy chodzi o podział na części, czy o wspólny moment lub wspólną liczbę. To zwykle od razu podpowiada, czy użyć NWD, czy NWW.