Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy i pierwiastek sześcienny to działania odwrotne do potęgowania. Gdy znamy wynik potęgowania, możemy szukać liczby, która do niego prowadzi.

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej to taka liczba nieujemna, której kwadrat daje tę liczbę. Na przykład $\sqrt{36}=6$, bo $6^2=36$.

Pierwiastek sześcienny z liczby to taka liczba, której sześcian daje tę liczbę. Na przykład $\sqrt[3]{64}=4$, bo $4^3=64$.

W zapisie pierwiastka ważna jest liczba podpierwiastkowa, czyli liczba umieszczona pod znakiem pierwiastka. W wyrażeniu $\sqrt{81}$ jest to $81$, a w wyrażeniu $\sqrt[3]{125}$ jest to $125$.

Aby dobrze liczyć pierwiastki, trzeba znać kwadraty liczb i sześciany liczb. Kwadrat liczby to wynik mnożenia jej przez samą siebie, a sześcian to wynik mnożenia jej trzy razy przez samą siebie.

Przykłady:

• $5^2=25$, więc $\sqrt{25}=5$
• $12^2=144$, więc $\sqrt{144}=12$
• $2^3=8$, więc $\sqrt[3]{8}=2$
• $3^3=27$, więc $\sqrt[3]{27}=3$

Dobrze jest pamiętać najczęstsze pełne kwadraty: $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$.

Warto też znać podstawowe sześciany: $1$, $8$, $27$, $64$, $125$, $216$, $343$, $512$, $729$, $1000$.

Nie zawsze liczba pod pierwiastkiem jest pełnym kwadratem albo pełnym sześcianem. Wtedy warto oszacować wynik, czyli sprawdzić, między jakimi liczbami on leży.

Przykład dla pierwiastka kwadratowego:

• $\sqrt{20}$
• wiemy, że $4^2=16$ i $5^2=25$
• ponieważ $20$ leży między $16$ i $25$, to $\sqrt{20}$ leży między $4$ i $5$

Przykład dla pierwiastka sześciennego:

• $\sqrt[3]{50}$
• wiemy, że $3^3=27$ i $4^3=64$
• ponieważ $50$ leży między $27$ i $64$, to $\sqrt[3]{50}$ leży między $3$ i $4$

Szacowanie przydaje się, gdy trzeba porównać liczby albo sprawdzić, czy wynik obliczeń ma sens.

W wielu zadaniach można uprościć obliczenia, korzystając z własności pierwiastków.

Dla pierwiastka kwadratowego możemy stosować:

• $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$, gdy $a\geq 0$ i $b\geq 0$
• $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, gdy $a\geq 0$ i $b>0$

Dla pierwiastka sześciennego podobnie:

• $\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}$
• $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$, gdy $b\neq 0$

Przykłady:

• $\sqrt{9\cdot 16}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{16}=3\cdot 4=12$
• $\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\frac{5}{6}$
• $\sqrt[3]{8\cdot 27}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot 3=6$

Te własności są bardzo przydatne wtedy, gdy pod pierwiastkiem widzimy liczby, z których łatwo obliczyć osobne pierwiastki.

Czasem pod pierwiastkiem znajduje się liczba, którą da się rozłożyć tak, aby wydzielić z niej pełny kwadrat albo pełny sześcian.

Wyłączanie przed znak pierwiastka:

• $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$
• $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$
• $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$

Włączanie pod znak pierwiastka to działanie odwrotne.

• $3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$
• $2\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8\cdot 4}=\sqrt[3]{32}$

W pierwiastku kwadratowym liczba stojąca przed pierwiastkiem „wchodzi” pod znak jako jej kwadrat. W pierwiastku sześciennym wchodzi jako jej sześcian.

To bardzo pomaga przy upraszczaniu wyrażeń i przygotowuje do dalszych obliczeń.

Pierwiastki występują nie tylko w prostych działaniach, ale też w zadaniach praktycznych. Jeśli znamy pole kwadratu, to długość jego boku obliczamy jako pierwiastek kwadratowy z pola. Jeśli znamy objętość sześcianu, to długość krawędzi obliczamy jako pierwiastek sześcienny z objętości.

Przykłady:

• pole kwadratu $64$ cm$^2$ oznacza bok długości $\sqrt{64}=8$ cm
• objętość sześcianu $125$ cm$^3$ oznacza krawędź długości $\sqrt[3]{125}=5$ cm

W zadaniach warto zawsze sprawdzić, czy wynik pasuje do sytuacji. Długość boku albo krawędzi nie może być ujemna. Dobrze też porównywać wynik z liczbami, które znamy z tabliczki kwadratów i sześcianów.