Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Ułamek zwykły zapisujemy w postaci $\frac{a}{b}$. Liczba na górze to licznik, a liczba na dole to mianownik. Mianownik mówi, na ile równych części podzielono całość, a licznik pokazuje, ile takich części bierzemy.

Jeśli pizza jest podzielona na $8$ równych kawałków i zjesz $3$, to zjadłeś $\frac{3}{8}$ pizzy. To dobry obraz ułamka: całość podzielona na równe części.

W działaniach na ułamkach bardzo ważne jest, czy ułamki mają taki sam mianownik. Od tego zależy sposób liczenia.

Gdy dwa ułamki mają taki sam mianownik, dodawanie i odejmowanie jest proste. Dodajemy albo odejmujemy tylko liczniki, a mianownik zostaje bez zmian.

Przykłady:

• $\frac{2}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}$
• $\frac{7}{10}-\frac{3}{10}=\frac{4}{10}$

Po obliczeniu warto sprawdzić, czy wynik da się skrócić. Na przykład $\frac{6}{9}$ można skrócić do $\frac{2}{3}$, a $\frac{4}{10}$ do $\frac{2}{5}$.

Jeśli ułamki mają różne mianowniki, nie można od razu dodawać ani odejmować liczników. Najpierw trzeba znaleźć wspólny mianownik.

Najczęściej wybieramy liczbę, przez którą da się podzielić oba mianowniki. Potem rozszerzamy ułamki, czyli mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

Przykład:

• $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$
• wspólny mianownik to $6$
• $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ i $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$
• $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$

Podobnie przy odejmowaniu:

• $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$
• wspólny mianownik to $12$
• $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$ i $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$
• $\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

Po wykonaniu działania dobrze jest sprawdzić, czy wynik można skrócić. Skracamy wtedy, gdy licznik i mianownik mają wspólny dzielnik większy od $1$.

Przykłady:

• $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
• $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

Czasem wynik jest ułamkiem niewłaściwym, czyli takim, w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi, na przykład $\frac{9}{4}$. Taki wynik można zamienić na liczbę mieszaną:

• $\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$

Przy liczbach mieszanych można działać na dwa sposoby:

• liczyć osobno części całkowite i ułamkowe, gdy to wygodne,
• zamienić wszystko na ułamki niewłaściwe.

Przykład:

• $1\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=1\frac{3}{4}$

Najczęstszy błąd to dodawanie lub odejmowanie mianowników. Na przykład zapis $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$ jest błędny. Ułamki trzeba najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

Drugi częsty błąd to brak skrócenia wyniku. Jeśli obliczysz $\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$, to dobrze, ale warto dopisać prostszą postać: $\frac{1}{2}$.

Trzeci błąd to zły wybór wspólnego mianownika albo złe rozszerzenie. Gdy zmieniasz ułamek, zawsze mnożysz licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

Dobra kolejność pracy:

• sprawdź, czy mianowniki są jednakowe,
• jeśli nie, znajdź wspólny mianownik,
• rozszerz ułamki,
• dodaj lub odejmij liczniki,
• skróć wynik albo zamień go na liczbę mieszaną.

Im częściej ćwiczysz na prostych przykładach, tym łatwiej zauważysz, jaki krok zrobić najpierw.