Zadania tekstowe i równania

W zadaniach tekstowych trzeba zamienić opis słowny na zapis matematyczny. Najczęściej szukamy jakiejś liczby albo wielkości, oznaczamy ją literą i układamy równanie. Potem rozwiązujemy je i sprawdzamy, czy wynik pasuje do treści.

Najważniejsze jest zrozumienie, co jest dane, czego szukamy i jakie są zależności między wielkościami. W zadaniach z klas 7–8 chodzi nie tylko o liczenie, ale też o poprawne tłumaczenie słów na działania.

• „suma” oznacza dodawanie
• „różnica” oznacza odejmowanie
• „iloczyn” oznacza mnożenie
• „iloraz” oznacza dzielenie
• „o $a$ więcej” zapisujemy jako $x + a$
• „o $a$ mniej” zapisujemy jako $x - a$
• „$k$ razy więcej” w prostych zadaniach zapisujemy jako $kx$
• „$k$ razy mniej” zapisujemy najczęściej jako $\frac{x}{k}$

Dobre rozwiązanie ma kilka prostych etapów. Dzięki nim łatwiej uniknąć błędów.

Krok 1. Oznacz niewiadomą. Napisz jasno, co oznacza $x$. Na przykład: „Niech $x$ oznacza liczbę uczniów w grupie” albo „Niech $x$ oznacza cenę jednego biletu”.

Krok 2. Zapisz pozostałe wielkości za pomocą $x$. Jeśli jedna liczba jest o $4$ większa, zapisz $x + 4$. Jeśli coś kosztuje $3$ razy tyle, zapisz $3x$.

Krok 3. Ułóż równanie. Wykorzystaj warunek z zadania, najczęściej sumę, różnicę, obwód, drogę, cenę lub procent.

Krok 4. Rozwiąż równanie. Wykonuj takie same działania po obu stronach. To prowadzi do równań równoważnych.

Krok 5. Zrób sprawdzenie. Podstaw otrzymaną liczbę do równania i zobacz, czy równość jest prawdziwa.

Krok 6. Odpowiedz pełnym zdaniem. Czasem równanie daje jedną wielkość, a pytanie dotyczy innej.

W wielu zadaniach pojawiają się te same schematy. Warto umieć je szybko rozpoznawać.

Przy liczbach kolejnych:

• jeśli pierwsza liczba to $x$, to następna to $x + 1$
• trzy kolejne liczby to $x$, $x + 1$, $x + 2$
• kolejne liczby parzyste to $x$, $x + 2$, $x + 4$
• kolejne liczby nieparzyste też różnią się o $2$

Przy wieku:

• „mama ma $3$ razy tyle lat co córka” zapisujemy jako $3x$
• „brat jest o $5$ lat starszy” zapisujemy jako $x + 5$

Przy cenach i zakupach:

• cena jednej rzeczy: $x$
• cena $4$ takich rzeczy: $4x$
• cena po obniżce o $20\%$: $x - 0{,}2x$
• cena po podwyżce o $10\%$: $x + 0{,}1x$

Przy ruchu:

• korzystamy ze wzoru $s = v \cdot t$
• trzeba pilnować jednostek, na przykład km i h albo m i s

Przy figurach:

• obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$ to $2a + 2b$
• pole prostokąta to $a \cdot b$
• obwód trójkąta to suma długości wszystkich boków

Częsty błąd polega na tym, że uczeń dobrze oznaczy $x$, ale źle zapisze drugą wielkość. Dlatego warto jeszcze przed rozwiązaniem przeczytać równanie i sprawdzić, czy naprawdę zgadza się z treścią.

W zadaniach tekstowych z procentami trzeba pamiętać, że procent to część całości. Jeśli coś kosztuje $x$ zł, to:

• $50\%$ tej ceny to $0{,}5x$
• $25\%$ tej ceny to $0{,}25x$
• $10\%$ tej ceny to $0{,}1x$
• $1\%$ tej ceny to $0{,}01x$

Jeżeli po obniżce o $10\%$ otrzymujemy nową cenę, to od ceny początkowej odejmujemy $10\%$ tej ceny. Otrzymujemy więc zapis $x - 0{,}1x$. Jeżeli po podwyżce o $10\%$, to zapisujemy $x + 0{,}1x$.

W zadaniach może też być pytanie odwrotne: znamy część i mamy znaleźć całość. Wtedy właśnie równanie jest bardzo wygodne. Na przykład jeśli po obniżce o $20\%$ cena wynosi $80$ zł, to układamy równanie $x - 0{,}2x = 80$.

Równania bardzo często pojawiają się w zadaniach o obwodzie, polu, długościach boków oraz w codziennych sytuacjach.

Jeżeli prostokąt ma boki $x$ i $x + 3$, a jego obwód wynosi $26$ cm, to korzystamy z zależności $2x + 2(x+3) = 26$. To równanie opisuje całą sytuację.

W zadaniach o drodze, czasie i prędkości trzeba uważać na jednostki. Jeśli samochód jedzie $2$ godziny z prędkością $70$ km/h, to przebyta droga wynosi $70 \cdot 2$. Gdy jedna z wielkości jest nieznana, oznaczamy ją przez $x$ i układamy równanie.

Podobnie robimy w zadaniach o zakupach. Jeśli kupiono kilka takich samych rzeczy i jeszcze jedną rzecz w innej cenie, to całkowity koszt zapisujemy jako sumę odpowiednich wyrażeń.

W praktyce szkolnej najważniejsze jest zauważenie zależności między wielkościami. Gdy dobrze zapiszesz zależność, rozwiązanie równania zwykle staje się proste.

Najwięcej pomyłek nie wynika z trudnych rachunków, lecz z nieuważnego czytania treści.

Typowe błędy:

• zła decyzja, co oznacza $x$
• pomylenie „o $5$ więcej” z „$5$ razy więcej”
• zapisanie jednej wielkości zamiast sumy dwóch wielkości
• brak sprawdzenia otrzymanego wyniku
• podanie liczby $x$, mimo że pytanie dotyczyło innej wartości
• mieszanie jednostek, na przykład minut z godzinami

Aby uniknąć błędu, po ułożeniu równania przeczytaj je jak zdanie. Jeśli z treści wynika, że suma dwóch liczb wynosi $30$, to w równaniu po jednej stronie powinny pojawić się obie liczby, a po drugiej $30$.

Dobrą metodą jest też krótkie zapisanie odpowiedzi słowami przed końcem: „Szukamy liczby mniejszej”, „Szukamy ceny początkowej”, „Szukamy długości krótszego boku”. Dzięki temu łatwiej zauważyć, czy końcowy wynik odpowiada na pytanie.