Matematyka

Notacja wykładnicza

Zestaw pomaga zrozumieć, czym jest notacja wykładnicza i jak zapisywać w niej bardzo duże oraz bardzo małe liczby. Znajdziesz tu fiszki, quizy i notatkę z przykładami, przesuwaniem przecinka oraz odczytywaniem zapisu $a \cdot 10^k$ .

Szkoła podstawowa8 fiszek18 pytań w 2 etapachnotatka

Podcast

Ładuję…

Quizy w tym zestawie

18 pytań w 2 etapach

Odblokujesz je po dodaniu zestawu.

Etap 1
6 fiszek · 9 pytań
Etap 2
2 fiszki · 9 pytań
Powtórka z całości
15 pytań ze wszystkich etapów, po ukończeniu etapów

Karty pracy

Ćwiczenia do wydruku na ten temat

Notacja wykładnicza - bardzo duże i bardzo małe liczbyKlasy 7-8

Otwórz kartę pracy

1.Notacja wykładnicza

To sposób zapisywania liczby w postaci $a \cdot 10^k$ , gdzie $a$ jest liczbą większą lub równą $1$ i mniejszą od $10$ , a $k$ jest liczbą całkowitą (ujemną dla liczb mniejszych od $1$ ). Ułatwia zapis bardzo dużych i bardzo małych liczb.

2.Mantysa

To liczba $a$ w zapisie $a \cdot 10^k$ . W notacji wykładniczej powinna spełniać warunek: $1 \leq a < 10$ . Dzięki temu zapis jest uporządkowany i jednoznaczny.

3.Wykładnik potęgi

To liczba $k$ w zapisie $a \cdot 10^k$ . Gdy $k$ jest dodatnie, pokazuje, o ile miejsc trzeba przesunąć przecinek w prawo, aby z mantysy otrzymać liczbę zapisaną zwyczajnie (gdy $k$ jest ujemne, przesuwamy przecinek w lewo).

4.Potęga liczby $10$

To liczby takie jak $10^1=10$ , $10^2=100$ , $10^3=1000$ . Im większy wykładnik, tym więcej zer ma liczba zapisana jako potęga dziesięciu.

5.Postać poprawna

Zapis w notacji wykładniczej jest poprawny, gdy ma postać $a \cdot 10^k$ oraz mantysa spełnia warunek $1 \leq a < 10$ . Na przykład $4{,}2 \cdot 10^5$ jest poprawne, a $42 \cdot 10^4$ nie.

6.Zamiana liczby na notację wykładniczą

Aby zapisać dużą liczbę w notacji wykładniczej, przesuwamy przecinek tak, by przed nim została jedna cyfra różna od zera. Liczba przesunięć to wykładnik przy $10$ .

7.Zamiana z notacji na zapis zwykły

Aby odczytać zapis $a \cdot 10^k$ z dodatnim $k$ , przesuwamy przecinek w liczbie $a$ o $k$ miejsc w prawo. Na przykład $3{,}5 \cdot 10^4=35000$ .

8.Duże liczby

Notacja wykładnicza jest szczególnie przydatna przy bardzo dużych liczbach, na przykład odległościach w kosmosie albo liczbie mieszkańców. Zamiast wielu zer używa się krótkiego zapisu z potęgą liczby $10$ .

Notatka

Co to jest notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to sposób zapisywania bardzo dużych i bardzo małych liczb w krótszej i wygodniejszej formie. Używamy zapisu $a \cdot 10^k$ . Liczba $a$ to mantysa, a liczba $k$ to wykładnik potęgi.

W tym zestawie ćwiczymy zapis dużych liczb, w których wykładnik $k$ jest dodatni (dla liczb mniejszych od $1$ wykładnik jest ujemny). Mantysa musi spełniać warunek $1 \leq a < 10$ . Oznacza to, że przed przecinkiem ma być tylko jedna cyfra różna od zera.

Przykład poprawnego zapisu: $4{,}6 \cdot 10^5$ . Przykład niepoprawnego zapisu: $46 \cdot 10^4$ , bo mantysa $46$ jest za duża.

Zapamiętaj

Poprawna notacja wykładnicza ma postać $a \cdot 10^k$ , gdzie $1 \leq a < 10$ .

Potęgi liczby $10$

Żeby dobrze rozumieć notację wykładniczą, trzeba znać potęgi liczby $10$ . Każda kolejna potęga ma o jedno zero więcej.

$10^1=10$
$10^2=100$
$10^3=1000$
$10^4=10000$
$10^5=100000$

W zapisie $a \cdot 10^k$ wykładnik mówi, ile razy liczba $10$ jest czynnikiem w mnożeniu. W praktyce oznacza też, o ile miejsc przesuwamy przecinek.

Jeśli mamy $3{,}2 \cdot 10^4$ , to przecinek w liczbie $3{,}2$ przesuwamy o $4$ miejsca w prawo. Otrzymujemy $32000$ .

Przykład

$7 \cdot 10^6=7000000$ , bo do $7$ dopisujemy sześć zer.

Jak zapisać liczbę w notacji wykładniczej

Aby zamienić zwykły zapis na notację wykładniczą, przesuwamy przecinek w lewo tak, aby przed przecinkiem została tylko jedna cyfra różna od zera. Następnie liczymy, o ile miejsc przesunęliśmy przecinek. Ta liczba to wykładnik.

Przykład: liczba $580000$ .

Przesuwamy przecinek: $580000 \to 5{,}8$ .

Przecinek przesunęliśmy o $5$ miejsc, więc zapisujemy: $5{,}8 \cdot 10^5$ .

Inny przykład: $23000000=2{,}3 \cdot 10^7$ .

Trzeba zawsze sprawdzić, czy mantysa spełnia warunek $1 \leq a < 10$ . Dlatego zapis $23 \cdot 10^6$ nie jest poprawną notacją wykładniczą, mimo że ma taką samą wartość jak poprawny zapis po przekształceniu.

Jak wrócić do zwykłego zapisu

Jeżeli liczba jest już zapisana jako $a \cdot 10^k$ , to wracamy do zwykłego zapisu przez przesunięcie przecinka w prawo o tyle miejsc, ile wskazuje wykładnik.

Przykład: $6{,}4 \cdot 10^3$ .

Przesuwamy przecinek w liczbie $6{,}4$ o $3$ miejsca w prawo i dostajemy $6400$ .

Przykład: $1{,}08 \cdot 10^5=108000$ .

Ważne

Częsty błąd to złe liczenie przesunięć przecinka. Wykładnik mówi dokładnie, o ile miejsc trzeba go przesunąć.

Jak rozpoznać zapis poprawny i niepoprawny

Poprawny zapis musi spełniać dwa warunki. Po pierwsze ma mieć postać $a \cdot 10^k$ . Po drugie mantysa musi być w przedziale od $1$ do mniej niż $10$ .

Poprawne przykłady:

$2 \cdot 10^8$
$9{,}7 \cdot 10^4$
$1{,}01 \cdot 10^6$

Niepoprawne przykłady:

$0{,}4 \cdot 10^7$ - mantysa jest mniejsza od $1$
$12 \cdot 10^3$ - mantysa jest większa lub równa $10$
$5+10^4$ - to nie ma postaci mnożenia przez potęgę liczby $10$

Gdy widzisz liczbę z wieloma zerami, warto sprawdzić, czy da się ją zapisać krócej i czytelniej właśnie w tej postaci.

Gdzie używamy notacji wykładniczej

Notacja wykładnicza przydaje się wszędzie tam, gdzie pojawiają się bardzo duże liczby. Dzięki niej zapis jest krótszy, łatwiejszy do odczytania i mniej podatny na pomyłki przy liczeniu zer.

Można ją spotkać przy zapisie liczby mieszkańców, dużych odległości, rozmiarów obiektów astronomicznych czy danych naukowych. Zamiast pisać długi ciąg cyfr, zapisujemy liczbę przez mantysę i potęgę liczby $10$ .

Na sprawdzianie warto umieć: