Działania na potęgach w klasach 7-8

Potęga to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. W wyrażeniu $a^n$ liczba $a$ to podstawa, a liczba $n$ to wykładnik. Wykładnik pokazuje, ile razy mnożymy podstawę przez siebie.

Przykład: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$. Oznacza to cztery czynniki równe $3$.

Potęgi bardzo ułatwiają zapis i obliczenia, zwłaszcza gdy liczby powtarzają się wiele razy. Zamiast pisać długie mnożenie, używamy krótkiego zapisu z wykładnikiem.

Gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, nie zmieniamy podstawy, tylko dodajemy wykładniki.

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Przykłady:

• $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$
• $7^2 \cdot 7^4 = 7^6$
• $10^1 \cdot 10^3 = 10^4$

Dlaczego tak jest? Bo na przykład $2^3 \cdot 2^5$ to $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$, czyli osiem razy liczba $2$.

Jeśli potęgi mają ten sam wykładnik, można pomnożyć podstawy:

$$a^n \cdot b^n = (ab)^n$$

Przykład: $2^4 \cdot 5^4 = 10^4$.

Gdy dzielimy potęgi o tej samej podstawie, zostawiamy tę samą podstawę i odejmujemy wykładniki.

$$a^m : a^n = a^{m-n}$$

Przykłady:

• $5^6 : 5^2 = 5^4$
• $3^7 : 3^3 = 3^4$
• $10^5 : 10^1 = 10^4$

To działa dlatego, że takie same czynniki w liczniku i mianowniku się skracają.

Jeśli potęgi mają ten sam wykładnik, można podzielić podstawy:

$$a^n : b^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n$$

Przykład: $12^2 : 3^2 = 4^2$.

W zadaniach szkolnych najczęściej spotkasz przykłady, w których po odjęciu wykładników wynik nadal ma wykładnik dodatni.

Jeśli potęgę podnosimy jeszcze raz do potęgi, wtedy mnożymy wykładniki.

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Przykłady:

• $(2^3)^4 = 2^{12}$
• $(5^2)^3 = 5^6$
• $(10^1)^6 = 10^6$

Można to zrozumieć tak: $(2^3)^4$ to cztery razy liczba $2^3$, czyli $2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3$. Potem dodajemy wykładniki: $3+3+3+3=12$.

W zadaniach najpierw sprawdź, co jest takie samo:

• jeśli ta sama podstawa i jest mnożenie, to dodaj wykładniki,
• jeśli ta sama podstawa i jest dzielenie, to odejmij wykładniki,
• jeśli jest potęga potęgi, to pomnóż wykładniki,
• jeśli jest ten sam wykładnik przy mnożeniu lub dzieleniu, możesz połączyć podstawy.

Przykłady:

• $4^3 \cdot 4^2 = 4^5$
• $9^6 : 9^4 = 9^2$
• $(7^2)^3 = 7^6$
• $2^3 \cdot 5^3 = 10^3$

To bardzo ważne, bo wiele błędów bierze się z użycia złej reguły do dobrego przykładu.

Najczęstszy błąd to zmienianie podstawy bez powodu. Na przykład:

• $5^3 \cdot 5^2$ to nie $10^5$, tylko $5^5$,
• $(2^4)^3$ to nie $2^7$, tylko $2^{12}$,
• $2^3 \cdot 3^3$ to nie $6^6$, tylko $6^3$.

W klasach $7$-$8$ poznajesz też notację wykładniczą, czyli zapis liczby w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie $1 \le a < 10$, a $k$ jest liczbą całkowitą. Używa się jej do dużych liczb.

Przykłady:

• $4000 = 4 \cdot 10^3$
• $250000 = 2{,}5 \cdot 10^5$
• $3000000 = 3 \cdot 10^6$

Notacja wykładnicza łączy się z potęgami liczby $10$, więc warto dobrze rozumieć, jak działają potęgi.