Równania pierwszego stopnia

Równanie to zapis, w którym po obu stronach znaku równości występują wyrażenia, a w nich może pojawić się niewiadoma, najczęściej $x$. Naszym celem jest znaleźć taką liczbę, która po podstawieniu za niewiadomą da prawdziwą równość.

Równanie pierwszego stopnia to takie, w którym niewiadoma występuje tylko w postaci $x$, a nie na przykład $x^2$. Przykłady to: $2x+5=11$, $7-x=3$, $4x+1=2x+9$.

Rozwiązaniem równania jest liczba spełniająca to równanie. Jeśli dla równania $x+4=9$ podstawimy $x=5$, to otrzymamy $5+4=9$, czyli prawdziwą równość.

Metoda równań równoważnych polega na wykonywaniu takich samych działań po obu stronach równania. Dzięki temu nie zmieniamy rozwiązania, tylko upraszczamy zapis.

Możemy:

• dodać tę samą liczbę do obu stron,
• odjąć tę samą liczbę od obu stron,
• pomnożyć obie strony przez tę samą liczbę różną od zera,
• podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.

Na przykład z równania $x-6=8$ dodajemy $6$ do obu stron i dostajemy $x=14$. Z równania $3x=21$ dzielimy obie strony przez $3$ i otrzymujemy $x=7$.

W szkole często mówi się o „przenoszeniu na drugą stronę”. To skrót myślowy. Naprawdę wykonujemy działanie po obu stronach równania.

Najwygodniej jest dążyć do tego, aby po jednej stronie zostały wyrazy z $x$, a po drugiej same liczby. Potem upraszczamy i na końcu wyznaczamy $x$.

Typowy plan:

• usuń nawiasy, jeśli występują,
• zredukuj wyrazy podobne,
• dodawaj lub odejmuj wyrazy, aby wszystkie składniki z $x$ były po jednej stronie,
• liczby przenieś na drugą stronę przez dodawanie lub odejmowanie,
• podziel przez liczbę stojącą przy $x$.

Przykład:

Z równania $4x+3=15$ odejmujemy $3$ od obu stron:

$4x=12$

Następnie dzielimy przez $4$:

$x=3$

Inny przykład:

$5x+2=2x+11$

Odejmujemy $2x$ od obu stron:

$3x+2=11$

Odejmujemy $2$:

$3x=9$

Dzielimy przez $3$:

$x=3$

Bardzo częsty błąd to zmiana znaku bez zrozumienia, skąd się bierze. Znak zmienia się dlatego, że wykonujemy działanie po obu stronach, a nie dlatego, że „tak się robi”.

Uważaj też na liczby ujemne. Gdy masz równanie $-3x=12$, to po podzieleniu przez $-3$ otrzymujesz $x=-4$, a nie $4$.

Ważne jest także poprawne redukowanie wyrazów podobnych. Można połączyć $3x$ i $2x$, bo oba zawierają $x$, ale nie można połączyć $3x$ i $2$ w jeden wyraz.

Często uczniowie spieszą się i gubią nawiasy albo znaki minus. Na przykład w równaniu $2(x+3)=10$ trzeba pamiętać, że po usunięciu nawiasu dostajemy $2x+6=10$.

Dobrą zasadą jest zapisywanie każdego kroku w osobnej linii. Wtedy łatwiej zauważyć pomyłkę.

Po rozwiązaniu równania warto zrobić sprawdzenie. Wstaw otrzymaną liczbę do równania początkowego i policz obie strony. Jeśli wyniki są takie same, rozwiązanie jest poprawne.

Przykład sprawdzenia:

Dla równania $2x+1=9$ otrzymaliśmy $x=4$. Sprawdzamy:

lewa strona: $2\cdot4+1=9$,

prawa strona: $9$.

Obie strony są równe, więc wynik jest dobry.

Równania pomagają też w zadaniach tekstowych. Najpierw trzeba dobrze wybrać niewiadomą. Jeśli jeden bilet kosztuje $x$ zł, a kupiono $4$ bilety za $28$ zł, zapisujemy $4x=28$. Po rozwiązaniu dostajemy $x=7$.

W zadaniach geometrycznych równania też są bardzo przydatne. Jeśli obwód prostokąta wynosi $30$ cm, a jeden bok ma $6$ cm, to dla drugiego boku $x$ zapisujemy $2(6+x)=30$.