Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko trójkąta prostokątnego, czyli takiego, który ma kąt prosty równy $90^\circ$. W takim trójkącie dwa boki tworzące ten kąt to przyprostokątne, a bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna.

Treść twierdzenia jest bardzo ważna: jeśli przyprostokątne mają długości $a$ i $b$, a przeciwprostokątna ma długość $c$, to zachodzi zależność $a^2+b^2=c^2$. Oznacza to, że suma kwadratów długości krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego boku.

Nie wolno mylić długości boków z ich kwadratami. Wzór nie mówi, że $a+b=c$, tylko że $a^2+b^2=c^2$.

Najpierw trzeba poprawnie wskazać, który bok jest który. To bardzo ważne, bo od tego zależy dobry wzór. Przeciwprostokątna zawsze leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem. Dwa pozostałe boki to przyprostokątne.

Jeśli na rysunku widzisz znak kąta prostego, od razu sprawdź, który bok leży po przeciwnej stronie. To właśnie jego długość zwykle oznaczamy literą $c$. Boków przy kącie prostym nie trzeba ustawiać w szczególnej kolejności — można je oznaczyć jako $a$ i $b$.

Częsty błąd polega na podstawieniu do wzoru złego boku jako $c$. Gdy tak się stanie, wynik najczęściej wychodzi bez sensu, na przykład przyprostokątna byłaby dłuższa od przeciwprostokątnej.

Jeśli znasz obie przyprostokątne, obliczenie przeciwprostokątnej jest proste. Najpierw liczysz ich kwadraty, potem dodajesz, a na końcu obliczasz pierwiastek kwadratowy.

Przykład schematu:

• zapisujesz $c^2=a^2+b^2$
• podstawiasz dane liczby
• obliczasz sumę
• wyciągasz pierwiastek

Gdy znasz przeciwprostokątną i jedną przyprostokątną, postępujesz trochę inaczej. Z równania $a^2+b^2=c^2$ odejmujesz znany kwadrat przyprostokątnej od $c^2$. Potem z otrzymanej liczby wyciągasz pierwiastek.

Twierdzenie Pitagorasa przydaje się nie tylko w samym trójkącie. Można je stosować także w innych figurach, jeśli da się w nich zobaczyć trójkąt prostokątny. Najczęściej chodzi o prostokąt, kwadrat albo sytuacje z codziennego życia.

W prostokącie przekątna dzieli figurę na dwa trójkąty prostokątne. Dlatego długość przekątnej prostokąta obliczamy ze wzoru $d^2=a^2+b^2$, gdzie $a$ i $b$ są długościami boków.

W praktyce szkolnej pojawiają się zadania o drabinie opartej o ścianę, drodze „na skos”, przekątnej ekranu, boisku lub kafelkach na podłodze. W każdym z tych przypadków trzeba najpierw zauważyć kąt prosty, a dopiero potem użyć wzoru.

Na sprawdzianie warto pisać rozwiązanie czytelnie. Najpierw wypisz dane z zadania i zaznacz, które boki są przyprostokątnymi, a który jest przeciwprostokątną. Potem zapisz odpowiedni wzór i dopiero podstaw liczby.

Dobra kolejność pracy:

• odczytaj z rysunku lub treści, gdzie jest kąt prosty
• nazwij boki
• zapisz wzór $a^2+b^2=c^2$
• przekształć go, jeśli szukasz przyprostokątnej
• wykonaj obliczenia
• sprawdź, czy wynik ma sens

Wynik powinien być dodatni, bo długość boku nie może być ujemna. Warto też ocenić, czy największy bok rzeczywiście wyszedł jako przeciwprostokątna. To prosty sposób kontroli.

Najwięcej pomyłek bierze się z pośpiechu. Uczniowie czasem używają wzoru w figurze, która nie zawiera kąta prostego. Innym częstym błędem jest wpisanie złego boku jako przeciwprostokątnej.

Trzeba też uważać na potęgi i pierwiastki. Gdy obliczysz na przykład $c^2=25$, to nie kończysz na $25$, tylko liczysz jeszcze $c=\sqrt{25}=5$. Podobnie, gdy masz $a^2=144$, szukana długość to $12$, a nie $144$.

Pamiętaj również o jednostkach. Jeśli boki są podane w centymetrach, wynik też zapisujesz w centymetrach. Przy zadaniach praktycznych zawsze na końcu napisz odpowiedź słowami.